Topological Category

位相空間の category は直積により monoidal category になる。その monoidal category で enrichされた category を topological category という。 また, internal category, つまり, object の集合に位相が入っているものも, topological category と呼ばれることが多い。 どちらを意味するかは, 文脈を見て考えるしかない。 私は, 前者を top-enriched category, 後者を top-internal category と呼んで, 区別することにしている。

Top-enriched category の用途としては, \((\infty ,1)\)-category の model をまず挙げるべきだろう。Lurie の本 [Lur09] に書いてある。 Top-enriched category の category の model structure の構成と, 他の \((\infty ,1)\)-category の model との関係については, Amrani の [Amr15] で調べられている。

• top-enriched category の category の model structure

そこで用いられている weak equivalence は, Gepner と Henriques の [GH] の Appendix A で登場する。Gepner と Henriques は, top-enriched category の間の weak equivalence は, 位相空間の圏に値を持つ presheaf の category の Quillen equivalence を誘導する, と主張している。 Körschgen の [Kör] にその詳細が書かれている。

Top-enriched category \(X\) から位相空間の圏 \(\category {Top}\) への functor \(F\) については,

の随伴 \(X(x,y)\times F(x)\to F(y)\) の連続性により連続性が定義できる。

• continuous functor

Heller [Hel82; Hel83] は, そのような continuous functor の成す圏でのホモトピーについて考察している。

Top-internal category としては, 例えば topological poset がある。この場合, 逆に各 object の組 \((x,y)\) に対し, \(x\) から \(y\) への morphism の集合には, 自明な位相しか入らない。

• topological poset

角付き多様体で enrich された top-enriched category としては, Khovanov homotopy type や Floer homotopy type の構成で使われる flow category がある。

• flow category

より古くから考えられている重要な topological category の class として, topological group, より一般に topological groupoid がある。

• 位相群やLie群など
• topological groupoid

Small category のホモトピー論で, Quillen の Theorem A と B は重要な道具であるが, Theorem A の top-internal category 版として, Libman の [Lib11] や David Roberts の [Rob24] がある。

References

[Amr15]

Ilias Amrani. “Model structure on the category of small topological categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.1 (2015), pp. 63–70. arXiv: 1110.2695. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0041-8.

[GH]

David Gepner and André Henriques. Homotopy Theory of Orbispaces. arXiv: math/0701916.

[Hel82]

Alex Heller. “Homotopy in functor categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 272.1 (1982), pp. 185–202. url: https://doi.org/10.2307/1998955.

[Hel83]

Alex Heller. “Erratum to: “Homotopy in functor categories””. In: Trans. Amer. Math. Soc. 279.1 (1983), p. 429. url: https://doi.org/10.2307/1999394.

[Kör]

Alexander Körschgen. Dwyer-Kan Equivalences Induce Equivalences on Topologically Enriched Presheaves. arXiv: 1704.07472.

[Lib11]

Assaf Libman. “Orbit spaces, Quillen’s theorem A and Minami’s formula for compact Lie groups”. In: Fund. Math. 213.2 (2011), pp. 115–167. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm213-2-2.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Rob24]

David Michael Roberts. “Homotopy types of topological stacks of categories”. In: New York J. Math. 30 (2024), pp. 940–955. arXiv: 2204.02778.