Topological Category

位相空間の category は直積により monoidal category になる。その monoidal category で enrichされた category を topological category という。 また, internal category, つまり, object の集合に位相が入っているものも, topological category と呼ばれることが多い。 どちらを意味するかは, 文脈を見て考えるしかない。 私は, 前者を top-enriched category, 後者を top-internal category と呼ぶことにしている。

Top-enriched category の用途としては, \((\infty ,1)\)-category の model をまず挙げるべきだろう。Lurie の本 [Lur09] に書いてある。 Top-enriched category の category の model structure の構成と, 他の \((\infty ,1)\)-category の model との関係については, Amrani の [Amr15] で調べられている。

• top-enriched category の category の model structure

Top-internal category としては, 例えば topological poset がある。この場合, 逆に各 object の組 \((x,y)\) に対し, \(x\) から \(y\) への morphism の集合には, 自明な位相しか入らない。

• topological poset

Topological poset の登場する場面としては, 組み合せ論の延長にあるものがある。 Zivaljevic の [Živ98] など。 orthogonal calculus のような, トポロジーへの応用を目指したものとして, Arone の [Aro02] や Bergner らの [Ber+15; Ber+19] などがある。

位相空間上の partial order は, directed algebraic topology でも登場するが, 普通は位相と partial order は無関係であり, topological category とはみなすことができないものである。

角付き多様体で enrich された top-enriched category としては, Khovanov homotopy type や Floer homotopy type の構成で使われる flow category がある。

• flow category

より古くから考えられている重要な topological category の class として, topological group, より一般に topological groupoid がある。

• 位相群やLie群など
• topological groupoid

Small category のホモトピー論で, Quillen の Theorem A と B は重要な道具であるが, Theorem A の top-internal category 版として, Libman の [Lib11] や David Roberts の [Rob] がある。

References

[Amr15]

Ilias Amrani. “Model structure on the category of small topological categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.1 (2015), pp. 63–70. arXiv: 1110.2695. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0041-8.

[Aro02]

Greg Arone. “The Weiss derivatives of \(B\mathrm {O}(-)\) and \(B\mathrm {U}(-)\)”. In: Topology 41.3 (2002), pp. 451–481. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00008-8.

[Ber+15]

Julia E. Bergner, Ruth Joachimi, Kathryn Lesh, Vesna Stojanoska, and Kirsten Wickelgren. “Fixed points of \(p\)-toral groups acting on partition complexes”. In: Women in topology: collaborations in homotopy theory. Vol. 641. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, pp. 83–96. arXiv: 1401.0491. url: https://doi.org/10.1090/conm/641/12860.

[Ber+19]

Julia E. Bergner, Ruth Joachimi, Kathryn Lesh, Vesna Stojanoska, and Kirsten Wickelgren. “Classification of problematic subgroups of \(U(n)\)”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 371.10 (2019), pp. 6739–6777. arXiv: 1407.0062. url: https://doi.org/10.1090/tran/7442.

[Lib11]

Assaf Libman. “Orbit spaces, Quillen’s theorem A and Minami’s formula for compact Lie groups”. In: Fund. Math. 213.2 (2011), pp. 115–167. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm213-2-2.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Rob]

David Michael Roberts. Homotopy equivalence of topological categories. arXiv: 2204.02778.

[Živ98]

Rade T. Živaljević. “Combinatorics of topological posets: homotopy complementation formulas”. In: Adv. in Appl. Math. 21.4 (1998), pp. 547–574. arXiv: math/9801147. url: http://dx.doi.org/10.1006/aama.1998.0604.