組み合せ論的に定義されたEuler標数

Poset に対し, Möbius関数を用いて Euler標数を定義したのは, Rota [Rot64] である。単体的複体の構造は, その face poset で表されるから, poset の言葉だけで全て表したいというのは自然な欲求である。

• finite poset の Möbius関数と Euler標数

一方, 有限groupoid の Euler 標数としては, Baez と Dolan の提案 [BD01] したものがある。

• finite groupoid の Euler標数

この2つを finite category の Euler標数に一般化したのは, Leinster [Lei08; BL08]である, と思っていたのだが, Leinster [Lei12] や Schwab と Villarreal [SV] によると, その前に category の Euler 標数 (Möbius function) を考えていた人も何人かいるようである。1975年の categorical algebra の conferenceのproceedings [BE75] に 収録されている Leroux のものや, Leroux の Content と Lemay との共著 [CLL80], そして Haigh の論文 [Hai80] が挙げられている。

Leinster 自身は, 2つの定義を提案している。

• weighting, coweighting による finite category の Euler標数の定義
• formal power series による finite category の Euler標数の定義

Leinster は, finite category を行列で表して議論しているが, 逆にどのような整係数正方行列が finite category から来ているかという問題を考えているのが, Allouch [Allb; Alla; AS14] である。 フランス語であるが。

具体的な場合として, 有限群の\(p\)-subgroup から定義された category について, JakobsenとMøller [JM12]により調べられている。 その群論的な応用があると面白いと思う。

Schwab は, [Sch04a; Sch04b; Sch09; SV] で, inverse semigroup との関係を調べている。

Leinster 自身は, その拡張として magnitude という概念を導入している。

• magnitude

組み合せ論の立場からは, 他にも Euler標数の定義を考えている人がいる。B. Chen の [Che93] など。

有限群に対しては, von Neumann algebra を用いた \(L^2\)-Euler標数が定義され, Leinster の意味の Euler標数 と一致する。そしてそれを small category に一般化したのが, Fiore と Lück と Sauer の [FLS11b] である。

• small category の finiteness obstruction
• small category の \(L^2\)-Euler標数

彼等は, その続編 [FLS11a] で, Grothendieck construction との関係についても述べている。

Weinstein による Lie groupoid の volume [Wei09] は, 有限の場合, Baez と Dolan の Euler標数に一致する。これを topological category に一般化するにはどうすればよいのだろうか。

他には, Gálvez-Carrillo, Kock, Tonks [GKT] の \(\infty \)-groupoid を用いた Möbius inversion の一般化がある。Dyckerhoff と Kapranov [DK19] による 2-Segal space とほぼ同じものが全く別の目的から発見されたようで興味深い。

他に, 高次の圏に対し Euler 標数の定義を拡張する試みとしては, Gonzalez, Necoechea, Stratmann の [GNS] がある。Finite bicategory に対する定義が述べられている。

References

[Alla]

Samer Allouch. On the existence of a category with a given matrix. arXiv: 1007.2884.

[Allb]

Samer Allouch. Sur l’existence d’une catégorie ayant une matrice strictement positive donnée. arXiv: 0806.0060.

[AS14]

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[BD01]

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[BE75]

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[Che93]

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[CLL80]

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[DK19]

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[FLS11a]

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[GKT]

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[GNS]

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[Hai80]

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[Lei08]

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[Lei12]

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[Rot64]

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[Sch04a]

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[Sch04b]

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[Sch09]

Emil Daniel Schwab. “The Möbius category of a combinatorial inverse monoid with zero”. In: Ann. Sci. Math. Québec 33.1 (2009), pp. 93–113.

[SV]

Emil Daniel Schwab and Juan Villarreal. The Computation of the Möbius Function of a Möbius Category. arXiv: 1210.7697.

[Wei09]

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