Structured (∞,1)-Categories

\((\infty ,1)\)-category は, category の一般化なので, 通常の category theory で用いられている category 上の構造の類似を導入することは, 当然考えられている。

例えば, monoidal structure を定義することができる。文献としては, やはり Lurie の本 [Lur] を挙げるべきだろう。

• monoidal \((\infty ,1)\)-category
• symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category

また monoidal \((\infty ,1)\)-category による enrichment については, Gepner と Haugseng による [GH15] がある。

• enriched \((\infty ,1)\)-category

Torii は, [Tora] で duoidal category の \(\infty \)版を定義している。更に \(\infty \)-operad の有限列 \(\bm {O}\) を用いた一般化を [Torb] で定義している。

• duoidal \(\infty \)-category
• \(\bm {O}\)-monoidal \(\infty \)-category

Kodjabachev と Sagave の [KS15] では, \(E_{\infty }\)-quasicategory が扱われている。

• \(E_{\infty }\)-\((\infty ,1)\)-category

群の作用を持つものについては, Bergner の [Ber17] を見るとよい。 そこでは, 知られている全ての \((\infty ,1)\)-category のモデルが, 離散群の作用を持つものに拡張できることが示されている。 また simplicial group の作用に拡張できる場合もあることが指摘されている。更に, [BC15] では, Chadwick と共に位相群の場合の equivariant \((\infty ,1)\)-category のモデルを提案している。

• equivariant \((\infty ,1)\)-category

Barwick ら [Bar+a; Bar+b] は, 単なる\(G\)作用ではなく, その部分群の作用との関係も合せた Mackey functor 的なものを考えている。またその情報を functor \(C\to BG\) として encode することを考え, より一般に parametrized \(\infty \)-category も考えている。

• \(G\)-\(\infty \)-category
• parametrized \(\infty \)-category

Mazel-Gee は, 一連の論文 [Maz; Maz21a; Maz21b] の中で \((\infty ,1)\)-category 上の model structure を考えることを提案している。 また, より基本的な relative category の類似も考えられている。

• relative \((\infty ,1)\)-category
• model \((\infty ,1)\)-category

通常の model category と同様に weak equivalence を invert できるが, できたものもまた \((\infty ,1)\)-category なので, それを homotopy categoryと呼ぶと誤解を招く恐れがある。Mazel-Gee は単に localization と呼んでいる。

References

[Bar+a]

Clark Barwick, Emanuele Dotto, Saul Glasman, Denis Nardin, and Jay Shah. Parametrized higher category theory and higher algebra: A general introduction. arXiv: 1608.03654.

[Bar+b]

Clark Barwick, Emanuele Dotto, Saul Glasman, Denis Nardin, and Jay Shah. Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé I – Elements of parametrized higher category theory. arXiv: 1608.03657.

[BC15]

Julia E. Bergner and Steven Greg Chadwick. “Equivariant complete Segal spaces”. In: Homology Homotopy Appl. 17.2 (2015), pp. 371–381. arXiv: 1502.06637. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n2.a17.

[Ber17]

Julia E. Bergner. “Equivalence of models for equivariant \((\infty ,1)\)-categories”. In: Glasg. Math. J. 59.1 (2017), pp. 237–253. arXiv: 1408.0038. url: https://doi.org/10.1017/S0017089516000136.

[GH15]

David Gepner and Rune Haugseng. “Enriched \(\infty \)-categories via non-symmetric \(\infty \)-operads”. In: Adv. Math. 279 (2015), pp. 575–716. arXiv: 1312.3178. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.02.007.

[KS15]

Dimitar Kodjabachev and Steffen Sagave. “Strictly commutative models for \(E_\infty \) quasi-categories”. In: Homology Homotopy Appl. 17.1 (2015), pp. 121–128. arXiv: 1408.0116. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n1.a5.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Maz]

Aaron Mazel-Gee. Model \(\infty \)-categories I: some pleasant properties of the \(\infty \)-category of simplicial spaces. arXiv: 1412.8411.

[Maz21a]

Aaron Mazel-Gee. “Model \(\infty \)-categories II: Quillen adjunctions”. In: New York J. Math. 27 (2021), pp. 508–550. arXiv: 1510.04392.

[Maz21b]

Aaron Mazel-Gee. “Model \(\infty \)-categories III: the fundamental theorem”. In: New York J. Math. 27 (2021), pp. 551–599. arXiv: 1510.04777.

[Tora]

Takeshi Torii. On duoidal \(\infty \)-categories. arXiv: 2106.14121.

[Torb]

Takeshi Torii. On higher monoidal \(\infty \)-categories. arXiv: 2111.00158.