ホモロジーとコホモロジー

Poincaré は, トポロジーにおける二つの重要な道具を発見した。 ホモロジー基本群であ る。 基本群は, Hurewicz などによりホモトピー群として一般化 された。

ここでは(コ)ホモロジー及びそれに関連した事柄への link をまとめた。

(コ)ホモロジーには, 様々な構成法がある。 可微分多様体に対する 微分形式を用いた de Rham cohomologyの 構成と Eilenberg-Mac Lane空間を用いた ホモトピー集合としての定義が一致するというの は驚くべき事実である。 無限対称積ホモトピー群特異ホモロ ジーと同型になるという Dold-Thomの定理も, にわ かには信じ難い。ChenとRuanのorbifold cohomologytwisted \(K\)-theory, そして differential cohomology のような新 しい変種も次々に発見されている。 更に, Abelianization functorQuillenの意味 でのderived functor (Goerss-Schemmerhornの[GS07]参照) という見方もある。

このように様々な構成方法や解釈を持つおかげで数多くの分野で応用があるわ けだが, ではホモロジーの本質とは一体何なのだろうか?

References

[GS07]

Paul Goerss and Kristen Schemmerhorn. “Model categories and simplicial methods”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 3–49. arXiv: math/0609537. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08403.