ω-Categories

高次の圏に対するアプローチには様々なものがあるが, 無限次までの morphism を持つものとして, Street [Str87] は globular set を用いて \(\omega \)-category の概念を導入した。 その後, Street は weak \(\omega \)-category [Str03]も定義している。

• strict \(\omega \)-category
• weak \(\omega \)-category

\(\omega \)-category には様々な解釈があるが、 Steiner [Ste04] によると, strict \(\omega \)-category は chain complex 上の或る種の functor とみなすのが自然なようである。また Steiner は [Ste07b] で, strict \(\omega \)-category の full subcategory である Joyal の \(\Theta \) についても, chain complex を用いた解釈を与えている。

Rezk は, [Rez10] で, その Joyal の \(\Theta \) を用いた weak \(n\)-category の定義を提案している。

Street の論文のタイトルにもある oriented simplex は, oriental とも呼ばれ, \(\omega \)-category と関係が深いものである。

• oriental

Steiner が [Ste07a] で oriental の圏を考えている。Aitchison の [Ait] によると, Street の motivation は John Roberts [Rob79] による relativistic qunatum field theory の formulation のためのものだったようである。Aitchison は cube 版を考えている。

\(\omega \)-category に対し, nerve を構成しようという試みもある。Gagna, Ozornova, Rovelli の [GOR] では, Street [Str87] によるものは, Street nerve と呼ばれている。Roberts による未出版のものも Street の論文にあり, Gagna らは Robert-Street nerve と呼んでいる。 その後 Verity の[Ver08] や Riehl の [1610。06801] で調べられている。 Cubical nerve については Steiner らの [ABS02] や [Ste06] などがある。

Verity の論文の title にある complicial set は, 1970年代半ばに John Roberts により考えられたものらしい。

• complicial set

References

[ABS02]

Fahd Ali Al-Agl, Ronald Brown, and Richard Steiner. “Multiple categories: the equivalence of a globular and a cubical approach”. In: Adv. Math. 170.1 (2002), pp. 71–118. arXiv: math/0007009. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2069.

[Ait]

Iain R. Aitchison. The geometry of oriented cubes. arXiv: 1008.1714.

[GOR]

Andrea Gagna, Viktoriya Ozornova, and Martina Rovelli. Nerves and cones of free loop-free ω-categories. arXiv: 2103.01066.

[Rez10]

Charles Rezk. “A Cartesian presentation of weak \(n\)-categories”. In: Geom. Topol. 14.1 (2010), pp. 521–571. arXiv: 0901.3602. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.521.

[Rob79]

John E. Roberts. “Mathematical aspects of local cohomology”. In: Algèbres d’opérateurs et leurs applications en physique mathématique (Proc. Colloq., Marseille, 1977). Vol. 274. Colloq. Internat. CNRS. Paris: CNRS, 1979, pp. 321–332.

[Ste04]

Richard Steiner. “Omega-categories and chain complexes”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 175–200. arXiv: math/0403237. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839551.

[Ste06]

Richard Steiner. “Thin fillers in the cubical nerves of omega-categories”. In: Theory Appl. Categ. 16 (2006), No. 8, 144–173. arXiv: math/0601386.

[Ste07a]

Richard Steiner. “Orientals”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 427–439. arXiv: math/0601383. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/431/08283.

[Ste07b]

Richard Steiner. “Simple omega-categories and chain complexes”. In: Homology Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 451–465. arXiv: math/0608680. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127346.

[Str03]

Ross Street. “Weak omega-categories”. In: Diagrammatic morphisms and applications (San Francisco, CA, 2000). Vol. 318. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003, pp. 207–213.

[Str87]

Ross Street. “The algebra of oriented simplexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 49.3 (1987), pp. 283–335. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90137-X.

[Ver08]

Dominic Verity. “Complicial sets characterising the simplicial nerves of strict \(\omega \)-categories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.905 (2008), pp. xvi+184. arXiv: math/0410412.