ω-Categories

高次の圏に対するアプローチには様々なものがあるが, 無限次までの morphism を持つものとして, Street [Str87] は globular set を用いて (strict) \(\omega \)-category の概念を導入した。 Weak \(\omega \)-category は, Batanin [Bat98] により globular set に構造を付加したものとして定義されたが, その後, Street [Str03] が simplicial set に構造を付加したものとして定義している。

• strict \(\omega \)-category
• weak \(\omega \)-category

\(\omega \)-category には様々な解釈があるが、 Steiner [Ste04] によると, strict \(\omega \)-category は chain complex 上の或る種の functor とみなすのが自然なようである。また Steiner は [Ste07b] で, strict \(\omega \)-category の full subcategory である Joyal の \(\Theta \) についても, chain complex を用いた解釈を与えている。

Rezk は, [Rez10] で, その Joyal の \(\Theta \) を用いた weak \(n\)-category の定義を提案している。

Street の論文 [Str87] のタイトルにもある oriented simplex は, oriental とも呼ばれ, \(\omega \)-category の列 \(\cO _{0},\cO _{1},\ldots \) として定義される。

• oriental

Street の論文の冒頭に History として書かれているが, Street の仕事は, 数理物理学者の John Roberts [Rob79] のアイデアが元になっているようである。 その動機は, 高次の圏の nerve を定義することであり, 高次の圏の \(n\)次の nerve を「\(n\)-simplex」 からの高次の関手のなす集合として定義することが動機だったようである。 そして Street は oriental を用いて \(\omega \)-category の nerve を定義している。 Oriental を実現する方法は, 他にも [Ste07a; BG16; Mae23; ALM23] などがある。

• Street nerve of \(\omega \)-category

Cubical nerve については Steiner らの [ABS02] や [Ste06] などがある。

また, Street の論文の冒頭の History によると, John Roberts は高次の圏の nerve として得られる構造に complicial set という名前を付けた。Roberts は simplicial set に構造を付加したものとして特徴付けようとしたが, 実現できなかったようである。

• complicial set

\(n\)-category の homotopical version として \((\infty ,n)\)-category があるが, \(\omega \)-category の homotopical version も考えられている。 Loubaton [Loub; Louc; Loua] は \((\infty ,\omega )\)-category と呼ぶことを提案している。

• \((\infty ,\infty )\)-category or \((\infty ,\omega )\)-category

References

[ABS02]

Fahd Ali Al-Agl, Ronald Brown, and Richard Steiner. “Multiple categories: the equivalence of a globular and a cubical approach”. In: Adv. Math. 170.1 (2002), pp. 71–118. arXiv: math/0007009. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2069.

[ALM23]

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[Bat98]

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[BG16]

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[Ste06]

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[Str03]

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[Str87]

Ross Street. “The algebra of oriented simplexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 49.3 (1987), pp. 283–335. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90137-X.