ループ空間のモデル

写像空間の中でも, 特にループ空間は様々なモデル (近似) が構成されている。

最初に combinatorial な構成でループ空間の近似を与えたのは I. James [Jam55] である。Milnor による simplicial group としての構成もある。 Milnor の構成は未出版であるが, Adams の Student’s Guide [Ada72] に収録されている。

その後, Milgram [Mil66], Boardman と Vogt [BV73], May [May72], Segal [Seg73] などにより, 多重ループ空間の近似が考えられた。 ずっと新しいものとしては, Jeff Smith によるものもある。 これらは皆重要な構成である。

  • \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の Milgram の model
  • \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の Boardman-Vogt と May の little cube model
  • \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の Segal の configuration space model
  • Jeff Smith [Smi89] による \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の simplicial group model

また Dold とThom [DT58] による無限対称積 や Segal の \(K\)-homology [Seg77] もこの系統と言えなくもない。

  • Dold-Thom の無限対称積 \(\mathrm {SP}^{\infty }(X)\)
  • Segal の \(F(X)\)

Bahri と Cohen による多様体上のループ空間のモデル [BC] も興味深い。測地線で結べる点列の成す空間から構成されているので, ある種の configuration space model と言える。 Free loop space などの関連した写像空間のモデルも構成されている。

  • Bahri と Cohen の多様体上のループ空間のモデル
  • Rivera と Saneblidze [RS] による necklical set を用 いた path-loop fibration のモデル

これら全てのモデルはある種の configuration の空間を用いて構成されている。

このような写像空間の combinatorial な model があると, splitting が証明できることが多い。

  • 非退化な基点を持つ空間の James construction は1回 suspension すると iterated smash product の wedge に分解する [Jam55]: \[ \Sigma J(X) \relation {\simeq }{w} \Sigma \bigvee _{j} X^{\wedge j} \]
  • Snaith splitting [Sna74] \[ \Sigma ^{\infty } C_n(X) \relation {\simeq }{w} \Sigma ^{\infty } \bigvee _{j}\mathcal {C}_n(j)_{ }\wedge _{\Sigma _j} X^{\wedge j} \]

弧状連結でない場合には, 奥山のモデル [Oku05] がある。

無限対称積の equivariant version とも言うべき構成が Nie の [Nie] で与えられている。

Euclid空間以外の空間 \(Y\) の configuration space を用いても, 同様に空間 \(C(Y,X)\) が構成できる。\(C(Y\times \R ^n,X)\) と \(\Omega ^n C(Y,\Sigma ^n X)\) の関係を調べているのが, Caruso の [Car] である。

多重ループ空間については, 全く異なる monoidal category を用いた構成がある。 これも古くから May らにより考えられてきた。

無限ループ空間の場合は Thomason [Tho95] により, 全ての無限ループ空間が symmetric monoidal category から作られることが示されている。 同様のことを \(n\)-fold loop space で考えたのが, Fiedoriwicz と Vogt の [FV03], そして Fiedorowicz と Stelzer と Vogt の [FSV13] である。

References

[Ada72]

John Frank Adams. Algebraic topology—a student’s guide. London Mathematical Society Lecture Note Series, No. 4. Cambridge University Press, London-New York, 1972, pp. vi+300.

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[BC]

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[BV73]

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[Car]

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[DT58]

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[FSV13]

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[Jam55]

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[May72]

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[May74]

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[Oku05]

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[Seg77]

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[Tho95]

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