Equivariant Homology and Cohomology

代数的トポロジーで扱われるコホモロジーの equivariant 版についての参考文献としては, Bredon の [Bre67], Hsiang の [Hsi75], Allday と Puppe の [AP93] などがある。

代数幾何学を対象とした解説としては, Brion の [Bri98] がある。 Borel construction による定義から equivariant Chow ring まで書いてある。もっとも, 代数幾何学的には, stack の cohomology として考えるのがよいのかもしれない。 Joshua の [Jos07] の Introduction では, Borel-type の cohomology と Bredon-type の cohomology を比較して述べてある。

まずは, 具体的な (co)homology theory の例を知るのがよい。

• equivariant de Rham cohomology
• equivariant \(K\)-theory

通常の (co)homology を equivariant cohomology に拡張する方法も色々考えられているので, それらを知っておく必要がある。 最も簡単な (予備知識が少なくてすむ) のは, Borel construction による拡張だろう。

• Borel construction による equivariant (co)homology

Bredonは, 群 \(G\) の orbit category \(\mathcal{O}(G)\) を用いた equivariant cohomology を定義した。

• Bredon (co)homology

現在では, 群 \(G\) の作用を持つ位相空間に対しては, 表現環 \(\mathrm{RO}(G)\) で grading の付いたものとして定義するのが, 「正しい」コホモロジーと考えられているようである。そのようなものは, May 達の仕事 [LMM81; Lew+86; May96] で知ったが, この MathOverflow の May による回答によると, Wirthmüller [Wir74] が tom Dieck に suggest されて考えたのが最初のようである。

• \(\mathrm{RO}(G)\)-graded equivariant generalized (co)homology

Equivariant cohomology を計算する spectral sequence ももちろん開発されている。

• Bredon spectral sequence

応用としてKrizの graph の chromatic number の評価 [Křı́92; Křı́00] がある。

コホモロジー作用素についても, 考えられている。Caruso の [Car99] など。 現代的な Lewis-May-Steinberg stype [Lew+86] の spectrum と \(\mathrm{RO}(G)\)-graded Hopf algebroid を用いたものとしては, Ricka の [Ric] がある。

Equivariant cohomology に関する予想として, Farrell-Jones の fibered isomorphism conjecture がある。元々 Farrell と Jones が [FJ93] で algebraic \(K\)-theory について考えたものであるが, Bartels と Lück の [BL06] でより一般的な形に formulate された。

Bartels と Lück は, Echterhoff と [BEL08] で Farrell-Jones conjecture などに現れる assembly map を調べるために, groupoid 上の spectrum から equivariant cohomology theory を構成することを考えている。

具体的には, 最もよく調べられているのは, 代数多様体も含めた多様体の equuivariant (co)homology だろう。

• 多様体の equivariant (co)homology

Bounding class \(\mathcal{B}\) を定めた \(\mathcal{B}\)-bounded cohomology というものもある。Ji, Ogle, Ramsey の [JOR] など。

References

[AP93]

C. Allday and V. Puppe. Cohomological methods in transformation groups. Vol. 32. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 1993, pp. xii+470. isbn: 0-521-35022-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526275.

[BEL08]

Arthur Bartels, Siegfried Echterhoff, and Wolfgang Lück. “Inheritance of isomorphism conjectures under colimits”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 41–70. arXiv: math/0702460. url: http://dx.doi.org/10.4171/060-1/2.

[BL06]

Arthur Bartels and Wolfgang Lück. “Isomorphism conjecture for homotopy \(K\)-theory and groups acting on trees”. In: J. Pure Appl. Algebra 205.3 (2006), pp. 660–696. arXiv: math/0407489. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.07.020.

[Bre67]

Glen E. Bredon. Equivariant cohomology theories. Lecture Notes in Mathematics, No. 34. Berlin: Springer-Verlag, 1967, vi+64 pp. (not consecutively paged).

[Bri98]

Michel Brion. “Equivariant cohomology and equivariant intersection theory”. In: Representation theories and algebraic geometry (Montreal, PQ, 1997). Vol. 514. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Notes by Alvaro Rittatore. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998, pp. 1–37. arXiv: math/9802063.

[Car99]

Jeffrey L. Caruso. “Operations in equivariant \(\mathbf{Z}/p\)-cohomology”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 126.3 (1999), pp. 521–541. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004198003375.

[FJ93]

F. T. Farrell and L. E. Jones. “Isomorphism conjectures in algebraic \(K\)-theory”. In: J. Amer. Math. Soc. 6.2 (1993), pp. 249–297. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152801.

[Hsi75]

Wu-yi Hsiang. Cohomology theory of topological transformation groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 85. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975, pp. x+164.

[JOR]

R. Ji, C. Ogle, and B. Ramsey. \(\mathcal{B}\)-Bounded cohomology and applications. arXiv: 1004.4677.

[Jos07]

Roy Joshua. “Bredon-style homology, cohomology and Riemann-Roch for algebraic stacks”. In: Adv. Math. 209.1 (2007), pp. 1–68. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.04.005.

[Křı́00]

Igor Křı́ž. “A correction to: “Equivariant cohomology and lower bounds for chromatic numbers” [Trans. Amer. Math. Soc. 333 (1992), no. 2, 567–577; MR1081939 (92m:05085)]”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.4 (2000), pp. 1951–1952. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02494-0.

[Křı́92]

Igor Křı́ž. “Equivariant cohomology and lower bounds for chromatic numbers”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 333.2 (1992), pp. 567–577. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154049.

[Lew+86]

L. G. Lewis Jr., J. P. May, M. Steinberger, and J. E. McClure. Equivariant stable homotopy theory. Vol. 1213. Lecture Notes in Mathematics. With contributions by J. E. McClure. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. x+538. isbn: 3-540-16820-6.

[LMM81]

G. Lewis, J. P. May, and J. McClure. “Ordinary \(RO(G)\)-graded cohomology”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 4.2 (1981), pp. 208–212. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1981-14886-2.

[May96]

J. P. May. Equivariant homotopy and cohomology theory. Vol. 91. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. With contributions by M. Cole, G. Comezaña, S. Costenoble, A. D. Elmendorf, J. P. C. Greenlees, L. G. Lewis, Jr., R. J. Piacenza, G. Triantafillou, and S. Waner. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 1996, pp. xiv+366. isbn: 0-8218-0319-0.

[Ric]

Nicolas Ricka. Subalgebras of the \(\Z /2\)-equivariant Steenrod algebra. arXiv: 1404.6886.

[Wir74]

Klaus Wirthmüller. “Equivariant homology and duality”. In: Manuscripta Math. 11 (1974), pp. 373–390.