Derived Algebraic Geometry

可換環は, Abel群が tensor product で成す monoidal category での commutative monoid object なので, より一般の symmetric monoidal category での commutative monoid object を元に, 代数幾何の真似事をしようというのは誰でも考えそうなことだと思うが, 意外にもごく最近までそのアイデアを実現した人はいなかった。

もちろん, 可換環だけだと affine scheme しか得られないが, 一般のscheme は functor of points として affine scheme から得られる。つまり, 可換環の圏から集合の圏への covariant functor \[ \category{CommRing} \longrightarrow \category{Set} \] を考えればよいのである。よって 可換環の圏を symmetric monoidal category (の一般化) の commutative monoid object (の一般化) の圏に変えれば, scheme の一般化が得られる。もちろん, 値域の集合の圏を一般化することも考えられる。 ホモトピー論的な手法を使いたければ, 集合を simplicial set に変えればよい。 Ben-Zvi と Francis と Nadler [BFN10] の §2.3 に書かれているように, この二つの一般化を同時に行なってできたものを調べるのが derived algebraic geometry のようである。

さて, では定義域を何に置き換えるかであるが, strict に可換な monoid を up to homotopy にしたいので, ホモトピーの概念を持つ symmetric monoidal category の類似で考えたい。 一つの選択肢としては, symmetric monoidal model category がある。 その方向では, Toën と Vezzosi の, 一連の論文 [TVa; TV05; TV04; TVb; TV08] がある。

この枠組みは代数幾何学以外にも使えそうで, 実際 Ben-Bassat と Kremnizer [BK] は Berkovich analytic space [Ber90] に使うことを考えている。また, その論文の続編では, complex analytic geometry微分幾何学をこの枠組みで考える, と言っている。 Bambozzi, Ben-Bassat, Kremnizer の [BBK] は, derived analytic geometry の基礎付けを目指したもの, と言っている。

Toën の [Toë] では, deformation quantization への新しい approach として用いられている。

重要な symmetric monoidal model category の例として (近代的な) spectrum の圏があるが, spectrum に対するホモロジー代数的構成の類似が色々知られていることからも, commutative ring spectrum (\(E_{\infty }\)-ring spectrum) を可換環のように扱うのは自然である。

もう一つの方向として, \((\infty ,1)\)-category を使うことも考えられている。これは, Lurie [Lurc] のアイデアだろうか。その基礎となることについては, [Lure; Lur09; Lura; Lurb] などに書かれている。 (近代的な) spectrum の圏も \((\infty ,1)\)-category として扱っている。 よって, この方法でも \(E_{\infty }\)-ring spectrum に基づいた derived algebraic geometry が得られる。 これらの Lurie の DAG の基礎についての preprint は Higher Algebra という一冊の本 [Lurd] にまとめられたようである。

いづれの方法ににせよ, Grothendieck が代数幾何学を再構築したのと同様, 可換環に対応する最も基礎的な部分から築き上げていく必要があるので, 大変である。勉強するのも大変である。まず Ben-Zvi と Francis と Nadler の [BFN10] の “2. Preliminaries” を読んでみると, derived algebraic geometry の目指すところが分かるかもしれない。

様々な幾何学的構造を derived algebraic geometry の文脈に拡張することも, 当然行なわれている。例えば, symplectic structure については, Pantev, Toën, Vaqui’e, Vezzosi [Pan+13] の \(n\)-shifted symplectic structure がある。 Vezzosi は [Vez]で derived stack 上の quadratic form や Clifford algebra の \(n\)-shifted 版を定義している。

References

[BBK]

Federico Bambozzi, Oren Ben-Bassat, and Kobi Kremnizer. Stein Domains in Banach Algebraic Geometry. arXiv: 1511.09045.

[Ber90]

Vladimir G. Berkovich. Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields. Vol. 33. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1990, pp. x+169. isbn: 0-8218-1534-2.

[BFN10]

David Ben-Zvi, John Francis, and David Nadler. “Integral transforms and Drinfeld centers in derived algebraic geometry”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.4 (2010), pp. 909–966. arXiv: 0805.0157. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00669-7.

[BK]

Oren Ben-Bassat and Kobi Kremnizer. Non-Archimedean analytic geometry as relative algebraic geometry. arXiv: 1312.0338.

[Lura]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry I: Stable Infinity Categories. arXiv: math/0608228.

[Lurb]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra. arXiv: math/0702299.

[Lurc]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry III: Commutative Algebra. arXiv: math/0703204.

[Lurd]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Lure]

Jacob Lurie. On Infinity Topoi. arXiv: math/0306109.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Pan+13]

Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted symplectic structures”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117 (2013), pp. 271–328. arXiv: 1111.3209. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-013-0054-1.

[Toë]

Bertrand Toën. Derived Algebraic Geometry and Deformation Quantization. arXiv: 1403.6995.

[TVa]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Algebraic Geometry over model categories (a general approach to derived algebraic geometry). arXiv: math/0110109.

[TVb]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Segal topoi and stacks over Segal categories. arXiv: math/0212330.

[TV04]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “From HAG to DAG: derived moduli stacks”. In: Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory. Vol. 131. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2004, pp. 173–216. arXiv: math/0210407.

[TV05]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Homotopical algebraic geometry. I. Topos theory”. In: Adv. Math. 193.2 (2005), pp. 257–372. arXiv: math/0207028. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.05.004.

[TV08]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Homotopical algebraic geometry. II. Geometric stacks and applications”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.902 (2008), pp. x+224. arXiv: math/0404373.

[Vez]

Gabriele Vezzosi. Quadratic forms and Clifford algebras on derived stacks. arXiv: 1309.1879.