Symplectic structure の一般化

多様体上の symplectic structure は様々な形に表すことができ, 種々の一般化が考えられている。

局所的に symplectic structure を持ち, 座標変換を行なったときに, 正の定数倍のずれがあってもよい, というものは conformal symplectic structure と呼ばれるらしい。Chantraine と Murphy の [CM] の Introduction にいくつか文献が挙げられている。

• conformal symplectic structure

Lichnerowicz [Lic78] により導入された Jacobi manifold は, contact structure と symplectic structure の両方の一般化になっているものである。

• Jacobi manifold

Severa の [Šev05] によると, NQ-manifold という graded manifold の一種を用いると, symplectic structure は \(\Sigma _n\)-manifold という無限系列の構造の最初のものと考えることができるようである。 \(\Sigma _0\)-manifold が symplectic manifold, \(\Sigma _1\)-manifold が Poisson manifold, \(\Sigma _2\)-manifold が Courant algebroid といった感じである。

• \(\Sigma _n\)-manifold

Symplectic manifold と複素多様体の幾何学を含む一般化として, Hitchin による generalized complex geometry がある。

• generalized complex geometry

Nondegenerate な closed \((n+1)\)-form を持つ multisymplectic manifold (\(n\)-plectic manifold) というものも考えられている。まずは, Rogers の thesis [Rogb] を見てみるとよいと思う。

• multisymplectic manifold

Rogers の thesis の前に, Ibort らの [CIL99; Ibo01] や Baez らの [BHR10] などで調べられている。 Severa の approach との関係については, Rogers が [Roga] で考えている。彼は, 2-plectic manifold から \(\Sigma _2\)-manifold, つまり Courant algebroid を作る方法を与えている。

その文脈で, Frégier と Rogers と Zambon [Cal+] が, moment map の類似を定義している。Lie algebra の代わりに \(L_{\infty }\)-algebra を用いるとよいようである。

Pantev, Toën, Vaqui’e, Vezzosi [Pan+13] は, derived algebraic geometry の文脈で quantization を考えるために, \(n\)-shifted symplectic structure という一般化を導入した。 Derived symplectic geometry については, Calaque の survey [Cala] がある。

• \(n\)-shifted symplectic structure

Calaque [Calb] がその boundary 付きの場合への一般化を提案している。Calaque によると, Pantev らの仕事は, Alexandrov, Kontsevich, Schwarz, Zaboronsky の [Ale+97] に対する明解な conceptual framework を与えるもののようである。

Shifted symplectic structure の例も Pantev らの論文に挙げられている。 Calaque [Calc] は, shifted cotangent stack が canonical shifted symplectic structure を持つことを示している。

References

[Ale+97]

M. Alexandrov, A. Schwarz, O. Zaboronsky, and M. Kontsevich. “The geometry of the master equation and topological quantum field theory”. In: Internat. J. Modern Phys. A 12.7 (1997), pp. 1405–1429. arXiv: hep-th/9502010. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217751X97001031.

[BHR10]

John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher L. Rogers. “Categorified symplectic geometry and the classical string”. In: Comm. Math. Phys. 293.3 (2010), pp. 701–725. arXiv: 0808.0246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0951-9.

[Cala]

Damien Calaque. Derived stacks in symplectic geometry. arXiv: 1802.09643.

[Calb]

Damien Calaque. Lagrangian structures on mapping stacks and semi-classical TFTs. arXiv: 1306.3235.

[Calc]

Damien Calaque. Shifted cotangent stacks are shifted symplectic. arXiv: 1612.08101.

[Cal+]

Martin Callies, Yael Fregier, Christopher L. Rogers, and Marco Zambon. Homotopy moment maps. arXiv: 1304.2051.

[CIL99]

F. Cantrijn, A. Ibort, and M. de León. “On the geometry of multisymplectic manifolds”. In: J. Austral. Math. Soc. Ser. A 66.3 (1999), pp. 303–330.

[CM]

Baptiste Chantraine and Emmy Murphy. Conformal symplectic geometry of cotangent bundles. arXiv: 1606.00861.

[Ibo01]

Alberto Ibort. “Multisymplectic geometry: generic and exceptional”. In: Proceedings of the IX Fall Workshop on Geometry and Physics (Vilanova i la Geltrú, 2000). Vol. 3. Publ. R. Soc. Mat. Esp. R. Soc. Mat. Esp., Madrid, 2001, pp. 79–88.

[Lic78]

André Lichnerowicz. “Les variétés de Jacobi et leurs algèbres de Lie associées”. In: J. Math. Pures Appl. (9) 57.4 (1978), pp. 453–488.

[Pan+13]

Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted symplectic structures”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117 (2013), pp. 271–328. arXiv: 1111.3209. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-013-0054-1.

[Roga]

Christopher L. Rogers. 2-plectic geometry, Courant algebroids, and categorified prequantization. arXiv: 1009.2975.

[Rogb]

Christopher L. Rogers. Higher Symplectic Geometry. arXiv: 1106.4068.

[Šev05]

Pavol Ševera. “Some title containing the words “homotopy” and “symplectic”, e.g. this one”. In: Travaux mathématiques. Fasc. XVI. Trav. Math., XVI. Univ. Luxemb., Luxembourg, 2005, pp. 121–137. arXiv: math/0105080.