Generalizations and Variations of Symplectic Manifolds

多様体上の symplectic structure は様々な形に表すことができ, 種々の一般化が考えられている。

局所的に symplectic structure を持ち, 座標変換を行なったときに, 正の定数倍のずれがあってもよい, というものは conformal symplectic structure と呼ばれるらしい。Chantraine と Murphy の [CM19] の Introduction にいくつか文献が挙げられている。

• conformal symplectic structure

Lichnerowicz [Lic78] により導入された Jacobi manifold は, contact structure と symplectic structure の両方の一般化になっているものである。

• Jacobi manifold

Severa の [Šev05] によると, NQ-manifold という graded manifold の一種を用いると, symplectic structure は \(\Sigma _n\)-manifold という無限系列の構造の最初のものと考えることができるようである。 \(\Sigma _0\)-manifold が symplectic manifold, \(\Sigma _1\)-manifold が Poisson manifold, \(\Sigma _2\)-manifold が Courant algebroid といった感じである。

• \(\Sigma _n\)-manifold

Symplectic manifold と 複素多様体の幾何学を含む一般化として, Hitchin による generalized complex geometry がある。

• generalized complex geometry

Nondegenerate な closed \((n+1)\)-form を持つ multisymplectic manifold (\(n\)-plectic manifold) というものも考えられている。 Baez, Hoffnung, Rogers [BHR10] により \(3\)-form を用いた symplectic geometry の類似が考えられたのが最初のようである。 彼等は, そのような試みは, DeDonder の [De 35] や Weyl の [Wey35] まで遡ることができると言っているが。

そのアイデアは, その後 Gotay, Isenberg, Montgomery の [Got+], Hélein と Kouneiher の [Hél04; HK04], Kijowski の [Kij73], Rovelli の [Rov04], Cantrijn, Ibort, Leon の [CIL99; Ibo01] などで発展させられている。

概要については, Rogers の thesis [Rog11] を見てみるとよいと思う。

• multisymplectic manifold

Severa の approach との関係については, Rogers が [Rog13] で考えている。彼は, 2-plectic manifold から \(\Sigma _2\)-manifold, つまり Courant algebroid を作る方法を与えている。

その文脈で, Frégier と Rogers と Zambon [Cal+16] が, moment map の類似を定義している。Lie algebra の代わりに \(L_{\infty }\)-algebra を用いるとよいようである。

Pantev, Toën, Vaqui’e, Vezzosi [Pan+13] は, derived algebraic geometry の文脈で quantization を考えるために, \(n\)-shifted symplectic structure という一般化を導入した。 Derived symplectic geometry については, Calaque の survey [Cal21] がある。

• \(n\)-shifted symplectic structure

Calaque [Cal15] がその boundary 付きの場合への一般化を提案している。Calaque によると, Pantev らの仕事は, Alexandrov, Kontsevich, Schwarz, Zaboronsky の [Ale+97] に対する明解な conceptual framework を与えるもののようである。

Shifted symplectic structure の例も Pantev らの論文に挙げられている。 Calaque [Cal19] は, shifted cotangent stack が canonical shifted symplectic structure を持つことを示している。

References

[Ale+97]

M. Alexandrov, A. Schwarz, O. Zaboronsky, and M. Kontsevich. “The geometry of the master equation and topological quantum field theory”. In: Internat. J. Modern Phys. A 12.7 (1997), pp. 1405–1429. arXiv: hep-th/9502010. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217751X97001031.

[BHR10]

John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher L. Rogers. “Categorified symplectic geometry and the classical string”. In: Comm. Math. Phys. 293.3 (2010), pp. 701–725. arXiv: 0808.0246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0951-9.

[Cal+16]

Martin Callies, Yaël Frégier, Christopher L. Rogers, and Marco Zambon. “Homotopy moment maps”. In: Adv. Math. 303 (2016), pp. 954–1043. arXiv: 1304.2051. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.08.012.

[Cal15]

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[Cal19]

Damien Calaque. “Shifted cotangent stacks are shifted symplectic”. In: Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 28.1 (2019), pp. 67–90. arXiv: 1612.08101. url: https://doi.org/10.5802/afst.1593.

[Cal21]

Damien Calaque. “Derived stacks in symplectic geometry”. In: New spaces in physics—formal and conceptual reflections. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2021, pp. 155–201. arXiv: 1802.09643.

[CIL99]

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[CM19]

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[De 35]

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[Got+]

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[Hél04]

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[HK04]

Frédéric Hélein and Joseph Kouneiher. “The notion of observable in the covariant Hamiltonian formalism for the calculus of variations with several variables”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 8.4 (2004), pp. 735–777. arXiv: math-ph/0401047. url: https://doi.org/10.4310/atmp.2004.v8.n4.a4.

[Ibo01]

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[Kij73]

Jerzy Kijowski. “A finite-dimensional canonical formalism in the classical field theory”. In: Comm. Math. Phys. 30 (1973), pp. 99–128.

[Lic78]

André Lichnerowicz. “Les variétés de Jacobi et leurs algèbres de Lie associées”. In: J. Math. Pures Appl. (9) 57.4 (1978), pp. 453–488.

[Pan+13]

Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted symplectic structures”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117 (2013), pp. 271–328. arXiv: 1111.3209. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-013-0054-1.

[Rog11]

Christopher Lee Rogers. Higher Symplectic Geometry. Thesis (Ph.D.)–University of California, Riverside. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2011, p. 156. isbn: 978-1124-77168-7. arXiv: 1106.4068.

[Rog13]

Christopher L. Rogers. “2-plectic geometry, Courant algebroids, and categorified prequantization”. In: J. Symplectic Geom. 11.1 (2013), pp. 53–91. arXiv: 1009.2975. url: https://doi.org/10.4310/jsg.2013.v11.n1.a4.

[Rov04]

Carlo Rovelli. “Dynamics without time for quantum gravity: covariant Hamiltonian formalism and Hamilton-Jacobi equation on the space \(\cG \)”. In: Decoherence and entropy in complex systems. Vol. 633. Lecture Notes in Phys. Springer, Berlin, 2004, pp. 36–62. isbn: 3-540-20639-6. arXiv: gr-qc/0207043. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-40968-7_4.

[Šev05]

Pavol Ševera. “Some title containing the words “homotopy” and “symplectic”, e.g. this one”. In: Travaux mathématiques. Fasc. XVI. Trav. Math., XVI. Univ. Luxemb., Luxembourg, 2005, pp. 121–137. arXiv: math/0105080.

[Wey35]

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