Clifford Algebra

Clifford algebra は, 代数的トポロジーでは, \(K\)-theory との関係で登場する。Atiyah と Bott と Shapiro の [ABS64] である。

解説としては, 例えば, Vistoli の [Vis], Gallier による generalized quaternion の視点から扱ったもの, [Gal] Todorov による [Tod11], Hestenes による [Hes] などがある。

ちょっと変な見方としては, Albuquerque と Majid によるもの [AM02] がある。彼等は [AM99; AM00] で八元数をある monoidal category での commutative monoid とみなせるという発見をしたが, それと同じアイデアで Clifford algebra についてもある monoidal category での commutative monoid object とみなすことができることを示している。

その流れで Bulacu [Bul11] は, Clifford algebra はある symmetric monoidal category での commutative cocommutative weak braided Hopf algebra とみなすことができることを示している。

さらに Cheng ら [CHY16] は Albuquerque と Majid や Bulacu の結果を, “generalized Cliiford algebra” に一般化している。

• generalized Clifford algebra

“Generalized Clifford algebra” とは, 大ざっぱな名前であるが, Clifford algebra の一般化として, 彼等は 7つの文献を挙げている。そして, 彼等の定義が一番一般的だと言っている。

一般化としては, quantum version もある。 様々な人が導入しているが, Tucker-Simmons の thesis [Tuc] によると, 最も最初のものは Hayashi の [Hay90] のようである。 §1.4.4 に, これまで導入された quantum Clifford algebra についてまとめられている。 Tucker-Simmons 自身も新しい定義を導入している。

• quantum Clifford algebra

References

[ABS64]

M. F. Atiyah, R. Bott, and A. Shapiro. “Clifford modules”. In: Topology 3.suppl, suppl. 1 (1964), pp. 3–38. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(64)90003-5.

[AM00]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “New approach to octonions and Cayley algebras”. In: Nonassociative algebra and its applications (São Paulo, 1998). Vol. 211. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 2000, pp. 1–7. arXiv: math/9810037.

[AM02]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “Clifford algebras obtained by twisting of group algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 171.2-3 (2002), pp. 133–148. arXiv: math/0011040. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00124-4.

[AM99]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “Quasialgebra structure of the octonions”. In: J. Algebra 220.1 (1999), pp. 188–224. arXiv: math/9802116. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7850.

[Bul11]

Daniel Bulacu. “A Clifford algebra is a weak Hopf algebra in a suitable symmetric monoidal category”. In: J. Algebra 332 (2011), pp. 244–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.02.020.

[CHY16]

Tao Cheng, Hua-Lin Huang, and Yuping Yang. “Generalized Clifford algebras as algebras in suitable symmetric linear Gr-categories”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 12 (2016), Paper No. 004, 11. arXiv: 1510.04408. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2016.004.

[Gal]

Jean Gallier. Clifford Algebras, Clifford Groups, and a Generalization of the Quaternions. arXiv: 0805.0311.

[Hay90]

Takahiro Hayashi. “\(q\)-analogues of Clifford and Weyl algebras—spinor and oscillator representations of quantum enveloping algebras”. In: Comm. Math. Phys. 127.1 (1990), pp. 129–144. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104180043.

[Hes]

David Hestenes. Learning about Geometric Algebra (GA). url: http://geocalc.clas.asu.edu/html/Intro.html.

[Tod11]

I. Todorov. “Clifford algebras and spinors”. In: Bulg. J. Phys. 38.1 (2011), pp. 3–28. arXiv: 1106.3197.

[Tuc]

Matthew Tucker-Simmons. Quantum Algebras Associated to Irreducible Generalized Flag Manifolds. arXiv: 1308.4185.

[Vis]

Angelo Vistoli. Notes on Clifford Algebras, Spin Groups, and Triality. url: http://homepage.sns.it/vistoli/clifford.pdf.