Andre-Quillen (co)homology

可換環の(コ)ホモロジーとは何だろう?

André [And67; And74] と Quillen [Qui70] は, 可換環に対し“(コ)ホモロジー”を定義した。現在 André-Quillen (co)homology と呼ば れているものである。

\(R\) 上の可換な代数 \(A\) に対し, その cotangent complex \(L_{A/R}\) は simplicial \(A\)-module であるが, その (simplicial の意味での) ホモトピー群として定義される。

• simplicial algebra と simplicial module
• cotangent complex

Cotangent complex については, まず Illusie の [Ill71; Ill72] を見るべきだろう。様々な一般化が考えられていて, 特に commutative ring spectrum (\(E_{\infty }\)-ring spectrum) への一般化も考えられている。 \(E_{\infty }\)-ring spectrum の cotangent complex の様々な定義が全て同値であることは, Rasekh と Stonek の [RS20] で示されている。

André-Quillen (co)homology の解説はいろいろあるが, Goerss と Schemmerhorn の [GS07] が非常に見通しがよくてお勧めである。同時に Iyengar の [Iye07] も読むと, derivation の成す module などについても理解が深まる。Goerss の [Goe90] もある。

André-Quillen (co)homology では, simplicial algebra を始め simplicial なテクニックが多用されるが, 本質はそこではない。Goerss と Schemmerhorn の解説でも強調されているように, André-Quillen (co)homology は Quillen の モデル圏の有用性を示す “spectacular” な例なのである。

モデル圏の立場からは, 「ホモロジーとは Abelianization functor の total derived functor」とみなすのがよい, ということが Goerss と Schemmerhorn の解説 [GS07] を読むとよく分かる。どうして, derivation の成す module を用いるのかについても, この解説に説明がある。

可換性を “up to homotopy” にした differential graded \(E_{\infty }\)-algebra についても, André-Quillen homology が定義できる [Man03]。更に, Gamma homology というものもある。 これらの関係については, Richter の [Ric] の Introduction に簡潔にまとめられている。より一般に simplicial operad 上の simplicial algebra については Goerss と Hopkins の [GH00] で, differential graded version については, Hinich の [Hin97] で定義されている。Milles [Mil11] は, そのような operad 上の algebra の André-Quillen cohomology を Ext として表わすことを考えている。

代数的トポロジーでの応用は, H. Miller の Steenrod algebra 上の unstable module の研究 ( Sullivan conjecture の解決) [Mil84]から始まった, と言って いいのだろうか。 \(\Pi \)-algebra の実現問題にも登場する。

可換環は, 組合せ論の問題でも, Stanley-Reisner 環 のような形で登場するが, Stanely-Reisner 環の André-Quillen cohomology は, Altmann と Christphersen [AC04] により調べられている。 Stanley-Reisner 環を取ってから André-Quillen cohomology を取ると, simplicial complex のコホモロジーができるわけであるが, 彼等は, simplicial complex の幾何学的性質との関係も調べている。

Simplicial complex は, 様々な組合せ論の問題に現れるので, その Stanley-Reisner 環の André-Quillen cohomology として, その組合せ論的構造の cohomology が定義できることになる。例えば, matroid は, independence set により simplicial complex とみなせるが, その André-Quillen cohomology は, Bitsch と Constantinescu [BC] により調べられている。

Spectrum level で構成した topological 版もある。

• topological André-Quillen homology

Basterra [Bas99] により導入されたものだと思っていたが, Hill [Hil17] によると, Kriz の unpublished work で spectrum level の構成への lift が得られているらしい。

References

[AC04]

Klaus Altmann and Jan Arthur Christophersen. “Cotangent cohomology of Stanley-Reisner rings”. In: Manuscripta Math. 115.3 (2004), pp. 361–378. arXiv: math/0006139. url: https://doi.org/10.1007/s00229-004-0496-3.

[And67]

Michel André. Méthode simpliciale en algèbre homologique et algèbre commutative. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 32. Berlin: Springer-Verlag, 1967, pp. iii+122.

[And74]

Michel André. Homologie des algèbres commutatives. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 206. Berlin: Springer-Verlag, 1974, pp. xv+341.

[Bas99]

M. Basterra. “André-Quillen cohomology of commutative \(S\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 144.2 (1999), pp. 111–143. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)00051-6.

[BC]

William Bitsch and Alexandru Constantinescu. The first Cotangent Cohomology Module for Matroids. arXiv: 2204.05777.

[GH00]

Paul G. Goerss and Michael J. Hopkins. “André-Quillen (co)-homology for simplicial algebras over simplicial operads”. In: Une dégustation topologique [Topological morsels]: homotopy theory in the Swiss Alps (Arolla, 1999). Vol. 265. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000, pp. 41–85. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/265/04243.

[Goe90]

Paul G. Goerss. “On the André-Quillen cohomology of commutative \(\F _2\)-algebras”. In: Astérisque 186 (1990), p. 169.

[GS07]

Paul Goerss and Kristen Schemmerhorn. “Model categories and simplicial methods”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 3–49. arXiv: math/0609537. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08403.

[Hil17]

Michael A. Hill. “On the André-Quillen homology of Tambara functors”. In: J. Algebra 489 (2017), pp. 115–137. arXiv: 1701.06219. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.06.029.

[Hin97]

Vladimir Hinich. “Homological algebra of homotopy algebras”. In: Comm. Algebra 25.10 (1997), pp. 3291–3323. arXiv: q-alg/9702015. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879708826055.

[Ill71]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. I. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 239. Berlin: Springer-Verlag, 1971, pp. xv+355.

[Ill72]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. II. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 283. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. vii+304.

[Iye07]

Srikanth Iyengar. “André-Quillen homology of commutative algebras”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 203–234. arXiv: math/0609151. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08410.

[Man03]

Michael A. Mandell. “Topological André-Quillen cohomology and \(E_{\infty }\) André-Quillen cohomology”. In: Adv. Math. 177.2 (2003), pp. 227–279. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(02)00017-8.

[Mil11]

Joan Millès. “André-Quillen cohomology of algebras over an operad”. In: Adv. Math. 226.6 (2011), pp. 5120–5164. arXiv: 0806.4405. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.01.002.

[Mil84]

Haynes Miller. “The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces”. In: Ann. of Math. (2) 120.1 (1984), pp. 39–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007071.

[Qui70]

Daniel Quillen. “On the (co-) homology of commutative rings”. In: Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVII, New York, 1968). Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1970, pp. 65–87.

[Ric]

Birgit Richter. The collapse of the periodicity sequence in the stable range. arXiv: math/0601326.

[RS20]

Nima Rasekh and Bruno Stonek. “The cotangent complex and Thom spectra”. In: Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 90.2 (2020), pp. 229–252. arXiv: 2005.01382. url: https://doi.org/10.1007/s12188-020-00226-8.