Lie群とLie環の基本

Lie群は, 代数的トポロジーの始まったときから重要な例の供給源であった。 もちろん今でもそうである。戸田と三村がLie群の位相についての本 [戸三78; 戸三79] を書いたのも, 一つにはそういう理由があったと思われる。

もちろん, Lie群やLie環の本は数多く出されている。色々見てみるのがいいだろう。

• Lie群とその Lie algebra の定義
• 極大トーラス (maximal torus) の定義
• Cartan subalgebra
• Cartan matrix
• Weyl群 の定義
• exponential map \[ \exp : \mathfrak {g} \longrightarrow G \] の定義

まずは, 具体的な例で極大トーラスや Weyl 群に慣れ親しんでおくのがよいだろう。

• 実数体, 複素数体, 四元数体, 八元数体
• 古典群 (classical group) とその極大トーラス及びWeyl群
• Clifford algebraとspinor group
• 例外型Lie群の八元数による実現

有限次元 Lie 群の場合, ホモトピー論的には, compact Lie 群だけ考えればよいが, compact Lie 群の圏と reductive algebraic group の圏が topological category として同値になることが, Jones, Rumynin, Thomas [JRT24] によって示されている。Topological category は \((\infty ,1)\)-category の一つのモデルであるので, これは compact Lie群の圏と reductive algebraic group の圏が \((\infty ,1)\)-category として同値であることを意味する。 単なる圏としては, この2つの圏は同値ではないので, \((\infty ,1)\)-category がこのような状況を記述することに使えるのは面白い。

その他知っておくべきことは以下の通り。

• Lie群や Lie algebra が単純 (simple) とか半単純 (semisimple) であること
• root系とその Dynkin diagram
• 複素数体上の simple Lie algebras の分類
• Lie群と Lie algebra の関係
• Iwasawa 分解

Getzler の [Get09] によると, Lie群とLie環の関係が simplicial set の言葉を用いることで拡張できるようである。 他にも Lie 群と Lie 環の関係を一般化しようという試みは色々ある。

• Lie algebra の一般化に対する積分問題

Heckenberger ら [Hec06; HY08; CH09] は, Cartan matrix とその Weyl群の一般化として, Cartan scheme という概念を定義し, その Weyl groupoid や root系を定義している。

• Cartan scheme
• Weyl groupoid

他に関係した概念として以下のものがある。

• building

具体的な記述に基づく解説として, Carr と Garibaldi の [GC06] は分りやすい。

Lie群からは, 様々な方法で重要な空間が作られる。

• Lie群に関連した空間

Lie群を代数的トポロジーの視点から一般化したのが, Hopf 空間というものである。 Lie groupoid などの一般化もある。

• topological monoid
• Hopf空間
• topological groupoid
• Lie groupoid

無限次元多様体を考えると, 無限次元Lie群という概念を得る。 無限次元Lie環の中で分りやすいものとして, Kac-Moody Lie algebra がある。

References

[CH09]

M. Cuntz and I. Heckenberger. “Weyl groupoids with at most three objects”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.6 (2009), pp. 1112–1128. arXiv: 0805.1810. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.11.009.

[GC06]

Skip Garibaldi and Michael Carr. “Geometries, the principle of duality, and algebraic groups”. In: Expo. Math. 24.3 (2006), pp. 195–234. arXiv: math/0503201. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2005.11.001.

[Get09]

Ezra Getzler. “Lie theory for nilpotent \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Ann. of Math. (2) 170.1 (2009), pp. 271–301. arXiv: math/0404003. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2009.170.271.

[Hec06]

I. Heckenberger. “The Weyl groupoid of a Nichols algebra of diagonal type”. In: Invent. Math. 164.1 (2006), pp. 175–188. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0474-8.

[HY08]

István Heckenberger and Hiroyuki Yamane. “A generalization of Coxeter groups, root systems, and Matsumoto’s theorem”. In: Math. Z. 259.2 (2008), pp. 255–276. arXiv: math/0610823. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-007-0223-3.

[JRT24]

John Jones, Dmitriy Rumynin, and Adam Thomas. “Compact Lie groups and complex reductive groups”. In: Homology Homotopy Appl. 26.1 (2024), pp. 177–188. arXiv: 2109.13702. url: https://doi.org/10.4310/hha.2024.v26.n1.a12.

[戸三78]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(上). Vol. 14-A. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1978.

[戸三79]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(下). Vol. 14-B. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1979.