Hilbert scheme

Hilbert scheme は, \(0\)次元の subobject の集まりという点で, configuration space や symmetric product と似ている。実際, 無関係ではない。

• Scheme \(X\) に対し, length \(n\) の \(0\)-dimensional subscheme の成す Hilbert scheme \(X^{[n]}\) の定義

まず簡単に分かるのは \(X\) が \(1\) 次元の場合である。

• \(X\) が\(1\)次元ならば, \(X^{[n]}\) は \(n\)次の symmetric product \(\mathrm{SP}^{n}(X)\) である。

Nontrivialな場合では, 当然良く調べられているのは, \(2\)次元, つまり曲面上の点の Hilbert scheme である。これについては, 中島啓氏の解説 [Nak99] をまず読むべきだろう。またGöttsche の北京の ICM での講演録 [Göt02] も分りやすい。Göttsche の解説は, elliptic genus や orbifold cohomology などの, 新しい話題についても触れている。他には, 少し古いが Iarrobino の survey [Iar87] がある。

更に, 曲面の中でも affine空間 \(\mathbb{C}^2\) の場合が最も分っている。 Berest と Chalykh の [BC07] の Introduction では, \(\mathbb{C}^2\) の点の Hilbert scheme の意味付けとして4通りのものが挙げてある。 GIT quotient として表わすこともできる。

\(\mathbb{C}^2\) の非可換化, あるいは量子化として, Weyl algebra \(\mathbb{C}\langle x,y\rangle / (xy-yx-1)\) を考え, これらの対応を非可換な場合に拡張しようというのが, Berest と Wilson の [BW02], そして Berest と Chalykh の [BC07] である。Berest と Chalykh は, \(A_{\infty }\)-algebra の envelope という概念を用いて対応を構成している点で興味深い。更に, Eshmatov [Esh] は, Berest-Chalyhk の結果を Klein 型特異点 \(\mathbb{C}^2/G\) の場合に拡張している。他に Hilbert scheme の量子化としては, [KR08] などがある。

Hilbert scheme の基本的な性質は以下の通り。

• \(X\) が smooth surface のとき, \(n\)次対称積への自然な写像 (Hilbert-Chow morphism) \[ X^{[n]} \longrightarrow \mathrm{SP}^{n}(X) \] は特異点の解消になっている。

Göttsche が ICM での講演で述べているように, 近年 moduli の問題については, 数理物理からの様々な問題が提案され, 活発に研究されている。点の Hilbert scheme は, そのテストケースとなるべきもの, らしい。

複素数体上の smooth surface の点の Hilbert scheme は, 代数的トポロジーにも深く関係しているようである。 Ellingsrud, Göttsche, Lehn の [EGL01] は, その complex cobordism class が, 元の曲面の cobordism class のみで決まることを示している。Betti数については, Göttsche の [Göt90] で決定された。また [Göt02] には Euler数や elliptic genus についても述べてある。

Smooth surface の点の Hilbert scheme の Betti数がある種の Fock space の Poincaré series の係数と同じであることに気がついたのは, Vafa と Witten [VW94] らしい。 そしてその対応が偶然ではないことを示したのが中島啓氏 [Nak97] である。

Smooth projective surface の点の Hilbert scheme のコホモロジーは, 積構造も込めて Lehn と Sorger の [LS] である条件の下で決定された。その結果, 対称積の orbifold cohomology を少し修正したもの と同型になっていることが分った [FG] ことは面白い。更に, Lehn と Sorger は, Frobenius algebra に対する functor として記述していることも面白い。より一般に Kaufmann が Frobenius algebra に対して \(G\)-Frobenius algebra を構成すること [Kau03] を考えている。 その対称群の場合 [Kau04b] を用いて, [Kau04a] で K3 surface の Hilbert scheme のコホモロジーを環構造も込めて記述している。

Vertex operator algebra や soliton 方程式との関連については, 例えば, Qin と Wang の [QW07] や Ben-Zvi と Nevins の [BN08] などがある。

関連した概念としては以下のものがある。

• Calogero-Moser system
• Generalized Kummer variety とその elliptic genus [Nie]

Ciocan-Fontanine と Kapranov は [CK02] で Hilbert scheme の derived version を考えている。[CK01] では Quot scheme の derived version を考えている。それらの motivation は deformation theory である。

References

[BC07]

Yuri Berest and Oleg Chalykh. “\(A_\infty \)-modules and Calogero-Moser spaces”. In: J. Reine Angew. Math. 607 (2007), pp. 69–112. arXiv: math/0410194. url: https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.046.

[BN08]

David Ben-Zvi and Thomas Nevins. “From solitons to many-body systems”. In: Pure Appl. Math. Q. 4.2, Special Issue: In honor of Fedor Bogomolov. Part 1 (2008), pp. 319–361. arXiv: math/0310490.

[BW02]

Yuri Berest and George Wilson. “Ideal classes of the Weyl algebra and noncommutative projective geometry”. In: Int. Math. Res. Not. 26 (2002). With an appendix by Michel Van den Bergh, pp. 1347–1396. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792802108051.

[CK01]

Ionuţ Ciocan-Fontanine and Mikhail Kapranov. “Derived Quot schemes”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 34.3 (2001), pp. 403–440. arXiv: math/9905174. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(01)01064-3.

[CK02]

Ionuţ Ciocan-Fontanine and Mikhail M. Kapranov. “Derived Hilbert schemes”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.4 (2002), pp. 787–815. arXiv: math/0005155. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00399-5.

[EGL01]

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[Esh]

Farkhod Eshmatov. DG-models of Projective Modules and Nakajima Quiver Varieties. arXiv: math/0604011.

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[Göt02]

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[Göt90]

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[Iar87]

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[Kau03]

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[Kau04b]

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[KR08]

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[LS]

Manfred Lehn and Christoph Sorger. The cup product of the Hilbert scheme for K3 surfaces. arXiv: math/0012166.

[Nak97]

Hiraku Nakajima. “Heisenberg algebra and Hilbert schemes of points on projective surfaces”. In: Ann. of Math. (2) 145.2 (1997), pp. 379–388. arXiv: alg-geom/9507012. url: http://dx.doi.org/10.2307/2951818.

[Nak99]

Hiraku Nakajima. Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces. Vol. 18. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, pp. xii+132. isbn: 0-8218-1956-9.

[Nie]

Marc A. Nieper-Wißkirchen. On the Elliptic Genus of Generalised Kummer Varieties. arXiv: math/0208077.

[QW07]

Zhenbo Qin and Weiqiang Wang. “Hilbert schemes of points on the minimal resolution and soliton equations”. In: Lie algebras, vertex operator algebras and their applications. Vol. 442. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 435–462. arXiv: math/0404540.

[VW94]

Cumrun Vafa and Edward Witten. “A strong coupling test of \(S\)-duality”. In: Nuclear Phys. B 431.1-2 (1994), pp. 3–77. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(94)90097-3.