Kunnethスペクトル系列と普遍係数スペクトル系列

(Singular homology の) Künneth の定理 (short exact sequence の形) が成り立つためには, 係数環に条件が必要である。 その条件がみたされない場合は, Künneth スペクトル系列という形になる。普遍係数定理に対しても, 普遍係数スペクトル系列がある。

また一般(コ)ホモロジーでも, Künneth スペクトル系列や, 普遍係数スペクトル系列を考えることができる。 [Ada69; Ada74; Lin71; Elm+97] などに書いてある。

Larry Smith [Smi70b; Smi70a] は, Künneth スペクトル系列を fiberwise space の圏で構成した。Smith の構成は cobar型 Eilenberg-Moore スペクトル系列の一つの構成法とみなすことができる。

また EKMMのspectrum のような, symmetric monoidal category を成す現代的な spectrum を用いれば, 代数的な構成を真似て構成することができる。その拡張として, equivariant な場合 [LM06] も考えられている。

• Larry Smith の display による Künneth spectral sequence の構成
• EKMM の spectrum による Künneth spectral sequence の構成 [Elm+97, pp. 101–102]

EKMM の Künneth spectral sequence の応用としては, Baker と Richter の \(\ell _*(\ell )\) の構造の研究 [BR08] がある。ここで, \(\ell \) とは connective complex \(K\)-theory を odd prime で localize したときの Adams summand である。

普遍係数スペクトル系列も, EKMM の spectrum を用いて構成することができる。

• EKMM の spectrum による universal coefficient spectral sequence の構成 [Elm+97, pp. 101–102]

もちろん, この手の spectral sequence は, 構成できたとしても, その収束に問題があるときが多い。例えば, equivariant \(K\)-theory の Künneth spectral sequence については, Rosenberg の [Ros] の Introduction と, そこに挙げられている文献を見るとよい。

References

[Ada69]

J. F. Adams. “Lectures on generalised cohomology”. In: Category Theory, Homology Theory and their Applications, III (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. Three). Berlin: Springer, 1969, pp. 1–138.

[Ada74]

J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology. Chicago, Ill.: University of Chicago Press, 1974, p. x 373.

[BR08]

Andrew Baker and Birgit Richter. “On the cooperation algebra of the connective Adams summand”. In: Tbil. Math. J. 1 (2008), pp. 33–70. arXiv: math/0506455.

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6.

[Lin71]

T. Y. Lin. “Homological algebra of stable homotopy ring \(\pi _*\) of spheres”. In: Pacific J. Math. 38 (1971), pp. 117–143. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102970265.

[LM06]

L. Gaunce Lewis Jr. and Michael A. Mandell. “Equivariant universal coefficient and Künneth spectral sequences”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 92.2 (2006), pp. 505–544. arXiv: math/0410162. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611505015492.

[Ros]

Jonathan Rosenberg. The Künneth Theorem in equivariant \(K\)-theory for actions of a cyclic group of order \(2\). arXiv: 1208.6355.

[Smi70a]

Larry Smith. Lectures on the Eilenberg-Moore spectral sequence. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 134. Berlin: Springer-Verlag, 1970, pp. vii+142.

[Smi70b]

Larry Smith. “On the Künneth theorem. I. The Eilenberg-Moore spectral sequence”. In: Math. Z. 116 (1970), pp. 94–140.