無限次元Lie群とLie環

近代的な代数的トポロジーは, 1950年代の Serre や Eilenberg らの仕事から始まったと言えるが, その当時から, 代数的トポロジーでは, 無限次元の空間を有限次元の空間とそれほど区別せずに扱ってきた。

無限次元のLie 群の研究が本格的に始まったのは, 1980年代だと思うが, 当然それも代数的トポロジーの研究対象となる。

• ループ群 (loop group)
• Kac-Moody group
• Kac-Moody Lie algebra
• \(\mathrm {Diff}(M)\)

ループ群については, Pressley と Segal の本 [PS86] がある。あまり読み易くはないが。 Mitchell の論文 [Mit86] と [Mit87] も見るとよい。

Kac-Moody group については, Kumar の本 [Kum02] がある。 Kac-Moody group をホモトピー論的視点から調べたものとして, Kitchloo の [Kit09; Kit14] や, その学生の Foley の [Fol15] がある。それによると, Kac-Moody group の 分類空間を最初に調べたのは, Kitchloo の thesis [Kit98] のようである。

Kitchloo は, 例えば [Kit09; Kit14] で, 分類空間が compact Lie 群の分類空間の homotopy colimit で表せることを示している。 そして, [Kit17] では, その Bousfield-Kan spectral sequence を調べている。

無限次元のLie群を構造群とした fiber bundle を考えることもできる。 ループ群の場合は, R. Cohen と Stacey の [CS04] という研究がある。

有限次元のLie群を閉部分群で割ることにより有用な空間が現われるように, Kac-Moody group をその部分群で割ってできる空間も重要である。例えば, Kac-Moody group \(\mathcal {G}\) を parabolic subgroup \(\mathcal {P}\) で割ってできる空間 \(\mathcal {G}/\mathcal {P}\) を Kac-Moody flag variety と呼ぶ。その equivariant cohomology は, [HHH05] で調べられている。

Kac-Moody Lie algebra は, 有限次元の Lie algebra とその位数有限の自己同型写像から作ることができる。Kac [Kac90] により発見された構成らしい。 その構成について調べているのが, Allison と Berman と Pianzola の [ABP02; ABP04] である。彼等が [ABP02] で調べている extended affine Lie algebra は, Högh-Krohn と Torresani [HT90] により quasi-simple Lie algebra として導入されたもののようである。Allison らにより [All+97] で調べられている。

• extended affine Lie algebra

無限次元の位相群として, ホモトピー論的に構成されるものもある。例えば, Eilenberg-Mac Lane空間 などである。

• Eilenberg-Mac Lane空間

有限次元Lie群の connective cover は, Eilenberg-Mac Lane 空間への写像の (何回かの) ホモトピーファイバーだから, 無限次元Lie群とみなせる場合もある。 例えば, 単連結単純Lie群 \(G\) の \(3\)-connective cover は, \(G\) の string group と呼ばれるようである。

• string group

無限次元のLie群の表現は, もちろん有限次元の場合よりも難しい。 ループ群の場合はよく研究されている。ループ群の central extension の表現から, Verlinde algebra というものが定義されるが, その積は, conformal field theory に由来する fusion product というものである。

Bott periodicity からも分かるように, ループ群と Grassmann多様体 は, 関係が深い。Ginzburg は [Gin] で, ループ群上の perverse sheaf の成す tensor category を考えている。

• Verlinde algebra

Verlinde algebra は, twisted \(K\)-theory として表わされる [Fre01; FHT08; FHT11] ことが知られている。

もちろん Kac-Moody Lie algebra の表現も活発に研究されている。

• Bernstein-Gel\('\)fand-Gel\('\)fand (BGG) resolution
• Nakajima quiver variety [Nak94]
• Frenkel と Khovanov と Schiffmann [FKS05] によるホモロジー代数的な Nakajima quiver variety の解釈
• Wakimoto module [Fre]

BGG resolution は, [BGG75] で導入されたものであるが, その後様々な一般化が考えられている。 Heckenberger と Kolb の [HK07] と, そこにある参考文献を見るとよい。

関連した概念として, oper というものがある。

• oper

Beilinson と Drinfel\('\)d により導入された概念である。Edward Frenkel が中心となって活発に研究している。[Fre; Fre05] などを見るとよい。

References

[ABP02]

Bruce Allison, Stephen Berman, and Arturo Pianzola. “Covering algebras. I. Extended affine Lie algebras”. In: J. Algebra 250.2 (2002), pp. 485–516. arXiv: math/0103133. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2001.9112.

[ABP04]

Bruce Allison, Stephen Berman, and Arturo Pianzola. “Covering algebras. II. Isomorphism of loop algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 571 (2004), pp. 39–71. arXiv: math / 0211068. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2004.044.

[All+97]

Bruce N. Allison, Saeid Azam, Stephen Berman, Yun Gao, and Arturo Pianzola. “Extended affine Lie algebras and their root systems”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 126.603 (1997), pp. x+122.

[BGG75]

I. N. Bernšteı̆n, I. M. Gel\('\)fand, and S. I. Gel\('\)fand. “Differential operators on the base affine space and a study of \(\mathfrak {g}\)-modules”. In: Lie groups and their representations (Proc. Summer School, Bolyai János Math. Soc., Budapest, 1971). Halsted, New York, 1975, pp. 21–64.

[CS04]

Ralph L. Cohen and Andrew Stacey. “Fourier decompositions of loop bundles”. In: Homotopy theory: relations with algebraic geometry, group cohomology, and algebraic \(K\)-theory. Vol. 346. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 85–95. arXiv: math/ 0210351.

[FHT08]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Twisted equivariant \(K\)-theory with complex coefficients”. In: J. Topol. 1.1 (2008), pp. 16–44. arXiv: math / 0206257. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtm001.

[FHT11]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Loop groups and twisted \(K\)-theory III”. In: Ann. of Math. (2) 174.2 (2011), pp. 947–1007. arXiv: math / 0312155v3. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2011.174.2.5.

[FKS05]

Igor Frenkel, Mikhail Khovanov, and Olivier Schiffmann. “Homological realization of Nakajima varieties and Weyl group actions”. In: Compos. Math. 141.6 (2005), pp. 1479–1503. arXiv: math/0311485. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X05001727.

[Fol15]

John D. Foley. “Discrete approximations for complex Kac-Moody groups”. In: Adv. Math. 268 (2015), pp. 159–200. arXiv: 1209.0937. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.09.015.

[Fre]

Edward Frenkel. Lectures on Wakimoto modules, opers and the center at the critical level. arXiv: math/0210029.

[Fre01]

Daniel S. Freed. “The Verlinde algebra is twisted equivariant \(K\)-theory”. In: Turkish J. Math. 25.1 (2001), pp. 159–167. arXiv: math/ 0101038.

[Fre05]

Edward Frenkel. “Gaudin model and opers”. In: Infinite dimensional algebras and quantum integrable systems. Vol. 237. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2005, pp. 1–58. arXiv: math / 0407524. url: http://dx.doi.org/10.1007/3-7643-7341-5_1.

[Gin]

Victor Ginzburg. Perverse sheaves on a Loop group and Langlands’ duality. arXiv: alg-geom/9511007.

[HHH05]

Megumi Harada, André Henriques, and Tara S. Holm. “Computation of generalized equivariant cohomologies of Kac-Moody flag varieties”. In: Adv. Math. 197.1 (2005), pp. 198–221. arXiv: math/0409305. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.10.003.

[HK07]

I. Heckenberger and S. Kolb. “On the Bernstein-Gelfand-Gelfand resolution for Kac-Moody algebras and quantized enveloping algebras”. In: Transform. Groups 12.4 (2007), pp. 647–655. arXiv: math/0605460. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00031-007-0059-2.

[HT90]

Raphael Høegh-Krohn and Bruno Torrésani. “Classification and construction of quasisimple Lie algebras”. In: J. Funct. Anal. 89.1 (1990), pp. 106–136. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-1236(90)90006-7.

[Kac90]

Victor G. Kac. Infinite-dimensional Lie algebras. Third. Cambridge: Cambridge University Press, 1990, pp. xxii+400. isbn: 0-521-37215-1; 0-521-46693-8. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511626234.

[Kit09]

Nitu Kitchloo. “Dominant \(K\)-theory and integrable highest weight representations of Kac-Moody groups”. In: Adv. Math. 221.4 (2009), pp. 1191–1226. arXiv: 0710.0167. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.02.006.

[Kit14]

Nitu Kitchloo. “On the topology of Kac-Moody groups”. In: Math. Z. 276.3-4 (2014), pp. 727–756. arXiv: 0810.0851. url: https://doi.org/10.1007/s00209-013-1220-3.

[Kit17]

Nitu Kitchloo. “On some applications of unstable Adams operations to the topology of Kac-Moody groups”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 145.2 (2017), pp. 915–924. arXiv: 1301 . 0056. url: https://doi.org/10.1090/proc/13269.

[Kit98]

Nitya R. Kitchloo. Topology of Kac-Moody groups. Thesis (Ph.D.)–Massachusetts Institute of Technology. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1998, (no paging).

[Kum02]

Shrawan Kumar. Kac-Moody groups, their flag varieties and representation theory. Vol. 204. Progress in Mathematics. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2002, pp. xvi+606. isbn: 0-8176-4227-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-0105-2.

[Mit86]

Stephen A. Mitchell. “A filtration of the loops on \(\mathrm {SU}(n)\) by Schubert varieties”. In: Math. Z. 193.3 (1986), pp. 347–362. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01229802.

[Mit87]

S. A. Mitchell. “The Bott filtration of a loop group”. In: Algebraic topology, Barcelona, 1986. Vol. 1298. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 215–226. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0083012.

[Nak94]

Hiraku Nakajima. “Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras”. In: Duke Math. J. 76.2 (1994), pp. 365–416. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-94-07613-8.

[PS86]

Andrew Pressley and Graeme Segal. Loop groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1986, pp. viii+318. isbn: 0-19-853535-X.