Abstract Polytope

凸多面体の面の成す poset の構造を抽象化した, 抽象多面体 (abstract polytope) という概念がある。

Montero [Mon21] によると, Danzer と Schulte [DS82] により導入されたもの, らしい。 ただし, face poset が同型な凸多面体を同じと思うというアイデアは, Grünbaum の [Grü77; Grü78] で登場したもののようである。

まずは, McMullen と Schulte の本 [MS02a] を見るべきだろう。 そのタイトルから分かるように, 正多面体中心であるが。 また, この本は, 写像の書き方が \(f(x)\) ではなく \(xf\) なので読み辛い。 その後の進展について, 彼等は [MS06] という survey を書いている。

• abstract regular polytope やその変種

Abstract regular polytope は, その変換群の作用で特徴付けられるが, 一方, Schulte と Williams [SW15]は, 任意の 有限群 が abstract polytope の automorphism group として実現できることを示しているので, abstract polytope はかなり広い poset の class と言える。

Deza と Dutour Sikirić と Shpectorov の [DDS08] では, McMullen と Schulte の本の定義より, 少し弱い定義が用いられている。 問題によっては, こちらの定義の方が使い易いかもしれない。 他にも, abstract polytope へのアプローチとしては, Elisa Fernandes と Leemans と Weiss [FLW16] による incidence geometry に基づいた hypertope というものもある。 正多面体の拡張である regular hypertope を考えている人 [Pie23] もいる。

• Deza-Dutour Sikirić-Shpectorov の abstract polytope
• hypertope
• regular hypertope

具体的な問題に現れる abstract polytope の例としては, 以下のようなものがある。

• \(2\)-associahedron [Bot19]
• Došen-Petrić による nestohedron の記述 [DP11]
• graphicahedron [Ara+10]

Bottman は, Backman と Poliakova と共に [BBP] で, categorical \(n\)-associahedron という \(2\)-associahedron の一般化を導入している。これは abstract polytope になるのだろうか?

正多面体から半正多面体を構成する方法として, Wythoff の構成という方法があるが, その abstract polytope 版もある。 McMullen と Schulte の本にも書いてあるし, Deza と Dutour Sikirić と Shpectorov の [DDS08] にも, 別の方法で書かれている。

• Wythoff construction

他にも, 通常の凸多面体に対する操作の一般化や, abstract polytope でしか定義されない操作なども色々ある。

• mixing [MS02b]
• join [GH18]
• Cartesian product [GH18]
• direct sum [GH18]
• topological product [GH18]

Abstract polytope に関する open problem としては, 少し古いが, Schulte と Weiss によるリスト [SW06] がある。 Cunningham と Pellicer [CP18] による \(k\)-orbit abstract polytope に関する 35 の open problem のリストもある。

References

[Ara+10]

Gabriela Araujo-Pardo, Maria Del Río-Francos, Mariana López-Dudet, Deborah Oliveros, and Egon Schulte. “The graphicahedron”. In: European J. Combin. 31.7 (2010), pp. 1868–1879. arXiv: 0910.3908. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2010.03.004.

[BBP]

Spencer Backman, Nathaniel Bottman, and Daria Poliakova. Higher-Categorical Associahedra. arXiv: 2409.03633.

[Bot19]

Nathaniel Bottman. “2-associahedra”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.2 (2019), pp. 743–806. arXiv: 1709.00119. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.743.

[CP18]

Gabe Cunningham and Daniel Pellicer. “Open problems on \(k\)-orbit polytopes”. In: Discrete Math. 341.6 (2018), pp. 1645–1661. arXiv: 1608.07993. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2018.03.004.

[DDS08]

Michel Deza, Mathieu Dutour Sikirić, and Sergey Shpectorov. “Hypercube embeddings of Wythoffians”. In: Ars Math. Contemp. 1.1 (2008), pp. 99–111. arXiv: math/0407527.

[DP11]

Kosta Došen and Zoran Petrić. “Hypergraph polytopes”. In: Topology Appl. 158.12 (2011), pp. 1405–1444. arXiv: 1010.5477. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2011.05.015.

[DS82]

L. Danzer and E. Schulte. “Reguläre Inzidenzkomplexe. I”. In: Geom. Dedicata 13.3 (1982), pp. 295–308. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00148235.

[FLW16]

Maria Elisa Fernandes, Dimitri Leemans, and Asia Ivić Weiss. “Highly symmetric hypertopes”. In: Aequationes Math. 90.5 (2016), pp. 1045–1067. arXiv: 1604.03162. url: https://doi.org/10.1007/s00010-016-0431-1.

[GH18]

Ian Gleason and Isabel Hubard. “Products of abstract polytopes”. In: J. Combin. Theory Ser. A 157 (2018), pp. 287–320. arXiv: 1603.03585. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2018.02.002.

[Grü77]

Branko Grünbaum. “Regular polyhedra—old and new”. In: Aequationes Math. 16 (1977), pp. 1–20. url: https://doi.org/10.1007/BF01836414.

[Grü78]

Branko Grünbaum. “Regularity of graphs, complexes and designs”. In: Problèmes combinatoires et théorie des graphes (Colloq. Internat. CNRS, Univ. Orsay, Orsay, 1976). Vol. 260. Colloq. Internat. CNRS. CNRS, Paris, 1978, pp. 191–197.

[Mon21]

Antonio Montero. “On the Schläfli symbol of chiral extensions of polytopes”. In: Discrete Math. 344.11 (2021), Paper No. 112507, 16. arXiv: 2003.02933. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2021.112507.

[MS02a]

Peter McMullen and Egon Schulte. Abstract regular polytopes. Vol. 92. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2002, pp. xiv+551. isbn: 0-521-81496-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546686.

[MS02b]

Peter McMullen and Egon Schulte. “The mix of a regular polytope with a face”. In: Ann. Comb. 6.1 (2002), pp. 77–86. url: https://doi.org/10.1007/s00026-002-8032-1.

[MS06]

Peter McMullen and Egon Schulte. “Regular and chiral polytopes in low dimensions”. In: The Coxeter legacy. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 87–106. arXiv: math/0503389.

[Pie23]

Claudio Alexandre Piedade. “Infinite families of hypertopes from centrally symmetric polytopes”. In: Electron. J. Combin. 30.2 (2023), Paper No. 2.20, 21. arXiv: 2103.17170. url: https://doi.org/10.37236/10392.

[SW06]

Egon Schulte and Asia Ivić Weiss. “Problems on polytopes, their groups, and realizations”. In: Period. Math. Hungar. 53.1-2 (2006), pp. 231–255. arXiv: math/0608397. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10998-006-0035-y.

[SW15]

Egon Schulte and Gordon Ian Williams. “Polytopes with preassigned automorphism groups”. In: Discrete Comput. Geom. 54.2 (2015), pp. 444–458. arXiv: 1505.06253. url: https://doi.org/10.1007/s00454-015-9710-1.