Constructions of Associahedra

Associahedron は, Stasheff [Sta63] や Tamari の thesis [Tam51] で導入されたものであるが, 最初の Stasheff によるものは, 凸多面体としての構成ではない。 凸多面体として systematic に構成したのは Carl Lee の [Lee89] や Haiman (未出版) によるもののようである。

Labbé の [Lab] に書かれているように, その後, associahedron の構成には様々なものが考えられている。

Padrol ら [Pad+23] はそれを以下の3種類に分類している。

• fiber polytope あるいは secondary polytope realization

  • [BFS90]
  • Gel\('\)fand, Kapranov, Zelevinsky の [GZK89; GZK90] や [GKZ94] の Chapter 7

• \(g\)-vector realization

  • Loday の planar binary tree による構成 [Lod04] とその Hohlweg と Lange [HL07] による一般化
  • Postnikov [Pos09] による単体の Minkowski 和としての構成
  • [HLT11]
  • [PS12]
  • [PS15]
  • [LP18]
  • [HPS18]

• \(d\)-vector realization

  • cluster complex としての構成 [CFZ02]
  • [CSZ15]

Ceballos と Ziegler [CZ] は, secondary polytope によるもの, cluster complex としてのもの, 単体の Minkowski 和によるもの, の\(3\)種類を比べ, それらがaffine同値にならないことを示している。

Pilaud とSantos [PS12] は, Hohlweg と Lange の構成 [HL07]を, 接点を持つ pseudoline arrangement と関連付けて brick polytope というものを用いて一般化している。更に Pilaud は Stump と共に [PS15] brick polytope を一般化し, それが cluster complex の多面体による実現を与えることを示している。

Hohlweg と Lange の構成は, Shnider と Sternberg の構成 [SS93] の一般化である。そこに立ち返って spine を用いた構成を得ているのは, Lange と Pilaud [LP18] である。

他には, marked nodal disk の moduli space の compactification によるものもある。Fukaya と Oh [FO97]によるらしい。Mau と Woodward の [MW10] では, multiplihedron が類似の方法で構成されている。

References

[BFS90]

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[CFZ02]

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[CSZ15]

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[CZ]

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[HLT11]

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[HPS18]

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[MW10]

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[Pad+23]

Arnau Padrol, Yann Palu, Vincent Pilaud, and Pierre-Guy Plamondon. “Associahedra for finite-type cluster algebras and minimal relations between \(g\)-vectors”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 127.3 (2023), pp. 513–588. arXiv: 1906.06861. url: https://doi.org/10.1112/plms.12543.

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[PS12]

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[PS15]

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[SS93]

Steven Shnider and Shlomo Sternberg. Quantum groups. Graduate Texts in Mathematical Physics, II. From coalgebras to Drinfel\('\)d algebras, A guided tour. Cambridge, MA: International Press, 1993, pp. xxii+496. isbn: 1-57146-000-4.

[Sta63]

James Dillon Stasheff. “Homotopy associativity of \(H\)-spaces. I, II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 (1963), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1963-0158400-5.

[Tam51]

Dov Tamari. Monoı̈des préordonnés et chaı̂nes de Malcev. Thèse, Université de Paris, 1951, iv+81 pp. (mimeographed).