Fukaya Category

Symplectic多様体 \(M\) から Lagrangian submanifold を object とする \(A_{\infty }\)-category が作られる。それが \(M\) の Fukaya category と呼ばれるもの [Fuk93; Fuk97] である。

正確な定義のためには様々な道具が必要になり, 理解するためにはその背景も知る必要があるため, どこから手をつけていいか難しい。幸い Paul Seidel が \(A_{\infty }\)-category の基礎から書いた Fukaya category に関する解説 [Sei08] を書いている。

Riemann面の Fukaya category の Grothendieck group を計算しているのは, Abouzaid [Abo08] である。 また, 曲面の Fukaya category の derived category の derived Hall algebra が Cooper と Samuelson [CS] により調べられている。 かれらは, 曲面の Fukaya category については Haiden, Katzarkov, Kontsevich の [HKK] を参照している。

Fukaya category 以外にも, symplectic多様体に category やそれに類するものを associate する方法は何人かが考えている。例えば, 次のようなものである。

• Nadler と Zaslow の constructible sheaf を用いた構成 [Nad09; NZ09]
• Tamarkin の microlocal category [Tamb; Tama]
• Tsygan の microlocal category [Tsy18]

Nadler と Zaslow の論文には Fukaya category との関連も書かれている。 Tamarkin のものは, 名前の通り Kashiwara と Schapira の microlocal theory of sheaves [KS94] に基づいたものである。Tsygan のものも名前は同じであるが, 異るものらしい。

References

[Abo08]

Mohammed Abouzaid. “On the Fukaya categories of higher genus surfaces”. In: Adv. Math. 217.3 (2008), pp. 1192–1235. arXiv: math/0606598. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.08.011.

[CS]

Benjamin Cooper and Peter Samuelson. The Hall Algebras of Surfaces I. arXiv: 1708.00889.

[Fuk93]

Kenji Fukaya. “Morse homotopy, \(A_{\infty }\)-category, and Floer homologies”. In: Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology ’93 (Seoul, 1993). Vol. 18. Lecture Notes Ser. Seoul: Seoul Nat. Univ., 1993, pp. 1–102.

[Fuk97]

Kenji Fukaya. “Morse homotopy and its quantization”. In: Geometric topology (Athens, GA, 1993). Vol. 2. AMS/IP Stud. Adv. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997, pp. 409–440.

[HKK]

Fabian Haiden, Ludmil Katzarkov, and Maxim Kontsevich. Flat surfaces and stability structures. arXiv: 1409.8611.

[KS94]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds. Vol. 292. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. x+512. isbn: 3-540-51861-4.

[Nad09]

David Nadler. “Microlocal branes are constructible sheaves”. In: Selecta Math. (N.S.) 15.4 (2009), pp. 563–619. arXiv: math/0612399. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-009-0008-0.

[NZ09]

David Nadler and Eric Zaslow. “Constructible sheaves and the Fukaya category”. In: J. Amer. Math. Soc. 22.1 (2009), pp. 233–286. arXiv: math/0604379. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-08-00612-7.

[Sei08]

Paul Seidel. Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory. Zurich Lectures in Advanced Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2008, pp. viii+326. isbn: 978-3-03719-063-0. url: http://dx.doi.org/10.4171/063.

[Tama]

Dmitry Tamarkin. Microlocal Category. arXiv: 1511.08961.

[Tamb]

Dmitry Tamarkin. Microlocal condition for non-displaceablility. arXiv: 0809.1584.

[Tsy18]

Boris Tsygan. “A microlocal category associated to a symplectic manifold”. In: Algebraic and analytic microlocal analysis. Vol. 269. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Cham, 2018, pp. 225–337. arXiv: 1512.02747. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-01588-6_4.