超平面などの arrangement

Euclid空間の互いに異なる点の configuration spaceの一般化の一つとして, 超平面の arrangement の補集合が考えられる。 超平面だけでなく, 一般の部分ベクトル空間や affine空間 の arrangement も考えられている。Torus の中の subtorus の arrangement も調べられている。 他にも, 様々な一般化や変種が考えられ, 調べられている。

• hyperplane arrangement
• subspace arrangement
• toric arrangement
• 超平面配置の一般化や変種

トポロジーの視点からは, \(\bbC \) 上定義された超平面や affine subspace の場合が主に調べられているが, \(\Z \) や有限体上の場合も考えられている。例えば, Kamiya らの [math/0707.1381; KTT08] や Björner と Ekedahl の [BE97] など。

Hyperplane arrangement は, matroid や oriented matroid に関係するものの中でも代表的なものであり, その視点からは, 組み合せ論の一分野と考えることもできる。

• matroid
• oriented matroid

また代数多様体とみなして, 代数幾何学の道具を使うこともできる。 その際は, 超平面の交わりは 特異点となるため, 特異点論の立場からも調べられている。 例えば, Kapranov と Schechtman の [KS16] では, その上の perverse sheaf の成す圏が調べられている。

Complement のホモトピー型は, braid群とも深く関係してトポロジーでも重要である。

• arrangement の complement のホモトピー型
• arrangement の complement の(コ)ホモロジー

他にも arrangement に関連した分野は数多い。古くから調べられているのは, Weyl群などを生成する鏡映の「鏡」となる超平面の配置である。 De Concini と Procesi は, [CP] で box spline との関係について述べている。 Real hyperplane arrangement の chamber 上の random walk など, 確率論とも関係がある。

• 超平面に関する鏡映で生成された群
• その他 arrangement に関連した話題

References

[BE97]

Anders Björner and Torsten Ekedahl. “Subspace arrangements over finite fields: cohomological and enumerative aspects”. In: Adv. Math. 129.2 (1997), pp. 159–187. arXiv: math/9612217. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1647.

[CP]

C. De Concini and C. Procesi. The algebra of the box spline. arXiv: math/0602019.

[KS16]

Mikhail Kapranov and Vadim Schechtman. “Perverse sheaves over real hyperplane arrangements”. In: Ann. of Math. (2) 183.2 (2016), pp. 619–679. arXiv: 1403.5800. url: https://doi.org/10.4007/annals.2016.183.2.4.

[KTT08]

Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, and Hiroaki Terao. “Periodicity of hyperplane arrangements with integral coefficients modulo positive integers”. In: J. Algebraic Combin. 27.3 (2008), pp. 317–330. arXiv: math/0703904. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-007-0091-2.