Multiplihedron と関連した話題

Multiplihedron とは, 2つの \(A_{\infty }\) 空間の間の写像について, 定義域の \(A_{\infty }\)空間のホモトピー結合性と写像が up to homotopy で積を保つことを合わせて, つまり \(A_{\infty }\)-map であることを記述する組み合せ論的 構造を表わす regular cell complex の列 \(\{J(n)\}_{n\ge 1}\) である。 Forcey の [For08a] の Introduction を読むと multiplihedron についての歴史的なことなどがよく分かる。

それによると, \(A_n\)空間の間の morphism について考え始めたのは Stasheff [Sta70] であるが, そこでは multiplihedron の1-skeleton までしか考えられていない。最初に multiplihedron を regular cell complex として全て構成したのは Iwase と Mimura [IM89] である。 更にその元になったのは, Iwase の修士論文 [岩瀬則83a; 岩瀬則83b] のようである。Forcey は, multiplihedron の組み合せ論的構造については, Kawamoto の [Kaw07] を見るように言っている。

\(A_{\infty }\)空間の間の morphism については, Boardman と Vogt [BV73] のアプローチもある。そこでは, tree を用いて空間の 列が定義され, それにより \(A_{\infty }\)空間の間の morphism が定義されている。 Forcey の論文 [For08a] の目的は, Boardman-Vogt の空間を, Iwase-Mimura の multiplihedron と同型な face poset を持つ凸多面体として構成することである。

Multiplihedron の構成としては, Mau と Woodward [MW10] による stable quilted disk の moduli space としての実現もある。これは, Fukaya と Oh [FO97] による associahedron の構成の拡張になっているようである。

定義域あるいは値域が strict に associative なときには, multiplihedron を適当につぶした多面体でよい。例えば, 定義域値域共に strict に associative な場合は, 立方体でよいし, 値域のみが strict に associative なときには, associahedron でよい。Forcey [For08b] は, 定義域が strict にassociative なときの morphism を記述するための多面体 composihedron を構成している。

• composihedron

Associahedron と似た系列の多面体 (最初のいくつかは一致する) なので, 定義域が strict に associative なときにも morphism は associahedron で control されるという “confusion” があったらしい。

定義域値域共に strict に associative な場合は, 例えば Wirth と Stasheff による fibration の座標変換の記述 [WS06] に登場する。

Associahedron のうち \(K(5)\) (五角形) が monoidal category や bicategory の定義に現れることから, 高次の圏の間の functor を定義するために multiplihedron を使おうというのは自然なアイデアである。実際, bicategory や tricategory の間の “morphism” を定義するときにも現れる。例えば bicategory のときには \(J(3)\) が, tricategory のときには \(J(4)\) が現われる。Tricategory のときについては, Gordon と Power と Street の [GPS95] の17ページ に図がある。

References

[BV73]

J. M. Boardman and R. M. Vogt. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347. Berlin: Springer-Verlag, 1973, pp. x+257.

[FO97]

Kenji Fukaya and Yong-Geun Oh. “Zero-loop open strings in the cotangent bundle and Morse homotopy”. In: Asian J. Math. 1.1 (1997), pp. 96–180.

[For08a]

Stefan Forcey. “Convex hull realizations of the multiplihedra”. In: Topology Appl. 156.2 (2008), pp. 326–347. arXiv: 0706.3226. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.07.010.

[For08b]

Stefan Forcey. “Quotients of the multiplihedron as categorified associahedra”. In: Homology Homotopy Appl. 10.2 (2008), pp. 227–256. arXiv: 0803.2694. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251811075.

[GPS95]

R. Gordon, A. J. Power, and Ross Street. “Coherence for tricategories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 117.558 (1995), pp. vi+81. url: https://doi.org/10.1090/memo/0558.

[IM89]

Norio Iwase and Mamoru Mimura. “Higher homotopy associativity”. In: Algebraic topology (Arcata, CA, 1986). Vol. 1370. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1989, pp. 193–220. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0085229.

[Kaw07]

Yusuke Kawamoto. “Higher homotopy commutativity of \(H\)-spaces and homotopy localizations”. In: Pacific J. Math. 231.1 (2007), pp. 103–126. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2007.231.103.

[MW10]

S. Ma’u and C. Woodward. “Geometric realizations of the multiplihedra”. In: Compos. Math. 146.4 (2010), pp. 1002–1028. arXiv: 0802.2120. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X0900462X.

[Sta70]

James Stasheff. \(H\)-spaces from a homotopy point of view. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 161. Berlin: Springer-Verlag, 1970, pp. v+95.

[WS06]

James Wirth and Jim Stasheff. “Homotopy transition cocycles”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 1.1 (2006), pp. 273–283. arXiv: math/0609220.

[岩瀬則83a]

岩瀬則夫. “\(K*(XP^n)\) の環構造について”. MA thesis. 九州大学, Feb. 1983.

[岩瀬則83b]

岩瀬則夫. “写像の\(A_n\)構造について”. In: 数理解析研究所講究録 505 (1983), pp. 63–75. url: http://hdl.handle.net/2433/103730.