Cluster algebra と関連した概念

Cluster algebra は, Fomin と Zelevinsky [FZ02; FZ03b; BFZ05; FZ07] により, 表現論に関連して導入された概念である。

活発に研究されていて, 解説も様々なものが出ている。Zelevinsky の AMS Noticesの “WHAT IS ...?” の記事 [Zel07], B. Kellerによる解説 [Kel11b; Kel11a; Kel12], Fomin の ICM 2010 の [Fom10], Lauren Williams の [Wil14] など。

また, Fomin, Williams, Zelevinsky が執筆中の本は, 少しづつ arXiv に登場している。 Chapter 1から3が [FWZc], Chapters 4 と 5 が [FWZd], Chapter 6 が [FWZa], そして Chapter 7 が [FWZb] として出ている。

Fomin は, Cluster Algebras Portal というサイトを運営している。

Caldero と Zelevinsky [CZ06] によると, cluster algebra は 表現論だけでなく, 以下のことに応用されている:

• Teichmüller theory
• Poisson geometry
• discrete dynamical system
• tropical geometry
• 代数的組み合せ論

逆に, Teichmüller theory や 曲面の triangulation, そして, hyperbolic geometry などの情報から, cluster algebra の構造を調べようという試みもある。Fomin と Shapiro と Dylan Thurston の [FST08] である。

Fock と Goncharov は, このような “geometric origin” を持つ cluster algebra に関連した概念として, [FG09] で cluster ensemble というものを導入した。

• cluster ensemble

Fomin と Zelevinsky [FZ03a] は, cluster complex と呼ばれる simplicial complex の族を導入している。

• cluster complex

Cluster category というものもある。Buan と Marsh と Reineke と Reiten と Todorov の [Bua+06] で導入された。Bounded derived category の quotient として得られ, triangulated category になる。

• cluster category

Cluster category からは, subcategory による quotient を取ることにより, Abelian category を作ることができるが, より一般に triangulated category からその quotient として Abelian category を作ることを考えているのは Koenig と Zhu の [KZ08] である。

Cluster algebra と cluster category の直截的な関係を調べたものとしては, Caldero と Keller の [CK08; CK06] などがある。 例えば, cluster algebra が cluster category の Hall algebra として実現できることを示している。

Cluster の一般化として \(m\in \N \) に対し, \(m\)-cluster というものも定義されている。\(m=1\) のときが Fomin-Zelevinsky の cluster である。

• \(m\)-cluster (Fomin-Reading [FR05])

それに対応する, \(m\)-cluster category を定義しようというのが, Hugh Thomas の [Tho07] である。

別の categorical approach として, Hernandez と Leclerc の [HL10] がある。Cluster algebra の monoidal categorification を定義している。Nakajima [Nak11] は, cluster category の方を additive categorification と呼んでいる。

• cluster algebra の monoidal categorification

Categorification ではないが, \(K\)-theory が cluster algebra になる \(C^{*}\)-algebra が Nikolaev [Nik16] により導入されている。

• cluster \(C^{*}\)-algebra

Glubokov と Nikolaev の [GN22] では, Nikolaev の本 [Nik22] の Section 4.4 が参照されている。 この Glubokov と Nikolaev の論文では, Jones polynomial で生成された \(\Z [t^{\pm \frac {1}{2}}]\) の subalgebra が, cluster \(C^{*}\)-algebra の subalgebra の \(K\)-theory として実現できることが示されている。

このような cluster algebra と 結び目の理論, より正確には knot (link) polynomial との関係は, 最初に Lee と Schifller の [LS19] により発見されたものなのだろうか。Lee と Schiffler は Jones polynomial との関係を得ている。 Nagai と Terashima [NT20] は Alexander polynomial が得られることを示している。HOMFLY polynomial については [Yac] がある。

References

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[Bua+06]

Aslak Bakke Buan, Robert Marsh, Markus Reineke, Idun Reiten, and Gordana Todorov. “Tilting theory and cluster combinatorics”. In: Adv. Math. 204.2 (2006), pp. 572–618. arXiv: math/0402054. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.06.003.

[CK06]

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[CK08]

Philippe Caldero and Bernhard Keller. “From triangulated categories to cluster algebras”. In: Invent. Math. 172.1 (2008), pp. 169–211. arXiv: math/0506018. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-008-0111-4.

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[FG09]

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[Fom10]

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[FST08]

Sergey Fomin, Michael Shapiro, and Dylan Thurston. “Cluster algebras and triangulated surfaces. I. Cluster complexes”. In: Acta Math. 201.1 (2008), pp. 83–146. arXiv: math/0608367. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-008-0030-7.

[FWZa]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapter 6. arXiv: 2008.09189.

[FWZb]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapter 7. arXiv: 2106.02160.

[FWZc]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapters 1-3. arXiv: 1608.05735.

[FWZd]

Sergey Fomin, Lauren Williams, and Andrei Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapters 4-5. arXiv: 1707.07190.

[FZ02]

Sergey Fomin and Andrei Zelevinsky. “Cluster algebras. I. Foundations”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.2 (2002), 497–529 (electronic). arXiv: math/0104151. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00385-X.

[FZ03a]

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