A∞-algebra の一般化や変種

\(A_{\infty }\)-algebra は, いわゆる homotopy algebra, つまり operad を用いて古典的な代数的構造を up to homotopy にしたもの, の中で最も一般的なものだろう。 よってその一般化としては, まず homotopy algebra がある。

• ホモトピー的構造を持った代数

\(\Z \) 以外の群による grading を持つ \(A_{\infty }\)-algebra も考えられている。Lipshitz と Ozsváth と Thurston の [LOT15] である。

Amorim [Amo] によると, filtered \(A_{\infty }\)-algebra は Fukaya と Oh と Ohta と Ono [Fuk+09a; Fuk+09b] で導入されたものである。関連した構造として curved \(A_{\infty }\)-algebra がある。 Lipshitz と Ozsváth と Thurston [LOT] は, bordered Floer homology のための構造として, curved \(A_{\infty }\)-algebra の一種である weighed \(A_{\infty }\)-algebra とその tensor product を導入している。

• filtered \(A_{\infty }\)-algebra
• curved \(A_{\infty }\)-algebra
• weighted \(A_{\infty }\)-algebra

Sagave は [Sag10] で derived \(A_{\infty }\)-algebra という一般化を導入した。Hochschild homology の定義で, ground ring が projective ではないときには適当な resolution を取って Shukla homology として定義しなければならないように, \(A_{\infty }\)-algebra の定義も, 一般の可換環を ground ring として用いるときは, 定義を修正しなければならない。 その目的は Kadeishvili の定理の拡張のようである。

• derived \(A_{\infty }\)-algebra

Livernet と Roitzheim と Whitehouse [LRW13] が operad を用いて記述することに成功している。 表現については, Aponte Roman, Livernet, Robertson, Whitehouse, Ziegenhagen [Apo+15] により調べられている。 そのホモトピー論は, Cirici, Stantander, Livernet, Whitehouse [Cir+18] によって研究が始まった。

Coalgebra や bialgebra の \(A_{\infty }\)版 もある。 Markl の [Mar15] は, \(A_{\infty }\)-bialgebra についての “History and Pitfalls” から始まっているので, まずはそれを読むのが良いと思う。 Umble による解説 [Umb11] もある。\(A_{\infty }\)-coalgebra の定義は, Banerjee と Naolekar の [BN] の Appendix にもある。

• \(A_{\infty }\)-coalgebra
• \(A_{\infty }\)-bialgebra

\(A_{\infty }\)-bialgebra を定義するための associahedron を拡張する多面体の族として biassociahedron というものがあるが, その構成は, Saneblidze と Umble の [SU22] で最近完成されたばかりのようである。

Banerjee と Naokelar [BN] は, \(A_{\infty }\)-monad と \(A_{\infty }\)-comonad の概念を導入し, それを用いて \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-coalgebra やその上の module や comodule を統一的に扱うことを提案している。 それを用いると, contramodule の \(A_{\infty }\)版も定義できるようである。

• \(A_{\infty }\)-comodule
• \(A_{\infty }\)-contramodue

\(A_{\infty }\)-algebra を最初のレイヤーとする, より複雑な構造をもった “algebra” として, Tradler と Zeinalian [TZ07] は \(V_k\)-algebra という概念を導入した。\(V_1\)-algebra が \(A_{\infty }\)-algebra である。

Chain complex の \(d^2=0\) という条件を \(d^N=0\) という条件に変えた \(N\)-complex に対しても, \(A_{\infty }\)-algebra の類似を定義することができる。Angel と Diaz の [AD] である。

他には, Braun [Bra14] が考えている involution を持った \(A_{\infty }\)-algebra などがある。

• involutive \(A_{\infty }\)-algebra

Braun は cyclic homology の類似を考え, cyclic \(A_{\infty }\)-algebra という構造も導入している。

Modular operad の作用を考えた quantum \(A_{\infty }\)-algebra というのもある。 Barannikov が導入したもの [Bar07; Bar10] のようである。

• quantum \(A_{\infty }\)-algebra

References

[AD]

Mauricio Angel and Rafael Dı́az. \(A^{N}_{\infty }\)-algebras. arXiv: math/0612661.

[Amo]

Lino Amorim. Tensor product of filtered \(A_\infty \)-algebras. arXiv: 1404. 7184.

[Apo+15]

Camil I. Aponte Román, Muriel Livernet, Marcy Robertson, Sarah Whitehouse, and Stephanie Ziegenhagen. “Representations of derived \(A\)-infinity algebras”. In: Women in topology: collaborations in homotopy theory. Vol. 641. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, pp. 1–27. arXiv: 1401.5251. url: https://doi.org/10.1090/conm/641/12855.

[Bar07]

Serguei Barannikov. “Modular operads and Batalin-Vilkovisky geometry”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 19 (2007), Art. ID rnm075, 31. url: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnm075.

[Bar10]

Serguei Barannikov. “Noncommutative Batalin-Vilkovisky geometry and matrix integrals”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 348.7-8 (2010), pp. 359–362. arXiv: 0912.5484. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2010.02.002.

[BN]

Abhishek Banerjee and Anita Naolekar. On representation categories of \(A_\infty \)-algebras and \(A_\infty \)-coalgebras. arXiv: 2112.02707.

[Bra14]

Christopher Braun. “Involutive \(A_\infty \)-algebras and dihedral cohomology”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 317–337. arXiv: 1209.1261. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0030-y.

[Cir+18]

Joana Cirici, Daniela Egas Santander, Muriel Livernet, and Sarah Whitehouse. “Derived \(A\)-infinity algebras and their homotopies”. In: Topology Appl. 235 (2018), pp. 214–268. arXiv: 1609.08077. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2017.12.004.

[Fuk+09a]

Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, and Kaoru Ono. Lagrangian intersection Floer theory: anomaly and obstruction. Part I. Vol. 46. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 2009, pp. xii+396. isbn: 978-0-8218-4836-4.

[Fuk+09b]

Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, and Kaoru Ono. Lagrangian intersection Floer theory: anomaly and obstruction. Part II. Vol. 46. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 2009, i–xii and 397–805. isbn: 978-0-8218-4837-1.

[LOT]

Robert Lipshitz, Peter Ozsváth, and Dylan Thurston. Diagonals and A-infinity Tensor Products. arXiv: 2009.05222.

[LOT15]

Robert Lipshitz, Peter S. Ozsváth, and Dylan P. Thurston. “Bimodules in bordered Heegaard Floer homology”. In: Geom. Topol. 19.2 (2015), pp. 525–724. arXiv: 1003 . 0598. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2015.19.525.

[LRW13]

Muriel Livernet, Constanze Roitzheim, and Sarah Whitehouse. “Derived \(A_\infty \)-algebras in an operadic context”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.1 (2013), pp. 409–440. arXiv: 1110 . 5167. url: https://doi.org/10.2140/agt.2013.13.409.

[Mar15]

Martin Markl. “Bipermutahedron and biassociahedron”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.2 (2015), pp. 205–238. arXiv: 1209. 5193. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0053-4.

[Sag10]

Steffen Sagave. “DG-algebras and derived \(A_\infty \)-algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 639 (2010), pp. 73–105. arXiv: 0711.4499. url: https://doi.org/10.1515/CRELLE.2010.011.

[SU22]

Samson Saneblidze and Ronald Umble. “Framed matrices and \(A_\infty \)-bialgebras”. In: Adv. Stud. Euro-Tbil. Math. J. 15.4 (2022), pp. 41–140. arXiv: 2110.11732. url: https://doi.org/10.32513/asetmj/19322008230.

[TZ07]

Thomas Tradler and Mahmoud Zeinalian. “Algebraic string operations”. In: \(K\)-Theory 38.1 (2007), pp. 59–82. arXiv: math/0605770. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-007-9005-2.

[Umb11]

Ronold N. Umble. “Higher homotopy Hopf algebras found: a ten-year retrospective”. In: Higher structures in geometry and physics. Vol. 287. Progr. Math. Birkhäuser/Springer, New York, 2011, pp. 343–362. arXiv: 0709.3436.