Novikov-type Conjectures

可微分多様体の特性類や, それらから定義される不変量は, その多様体の tangent bundle の不変量である。 それが, どれぐらい多様体のトポロジーや幾何学的構造を反映しているかというのは, 基本的であり難しい問題である。

Ferry と Ranicki と Rosenberg による Novikov予想についての survey [FRR95a] の “Precursors of the Novikov Conjecture” として書いてある部分を読むとよい。Rosenberg の survey [Ros16] もある。

• Hirzebruch の signature theorem

Ferry と Ranicki と Rosenberg の解説は, 二分冊になっている本 [FRR95b; FRR95c] に収録されている。 Baum-Connes 予想については, Higson の解説 [Hig98] がある。

• Novikov 予想
• Borel 予想
• Baum-Connes 予想とその実数版
• Gromov-Lawson 予想, Gromov-Lawson-Rosenberg 予想

これらの予想は様々な場合に成り立つことが確かめられている。例えば, Novikov 予想については, [Sto] で mapping class group について成り立つことが示されている。 また一般の形の Baum-Connes 予想には, Higson と Lafforgue と Skandalis の反例 [HLS02] がある。

これらは, surgery の理論を用いて解決することが試みられたりもしたが, 未だに部分的にしか解決されていない。 指数定理や 非可換幾何学など, 様々なことと深く関連した予想である。

Hirzebruch の本 [Hir95] からも分かるように, これらの不変量は複素数体上の代数多様体に対しても重要な意味がある。 その視点から, Novikov予想の代数幾何版を考えたのが, Rosenberg の [Ros08] である。

Dranishnikov と Ferry と Weinberger の [DFW08] によると, 1990年代半ばには, Novikov予想へのアプローチとして compactification は popular な方法だったらしい。特に, Higson compactification は。

Baum-Connes 予想の実数版については, Baum と Karoubi [BK04] により, 複素数版が成り立つなら成り立つことが証明されている。

Baum-Connes 予想の quantum group 版も考えられている。Voigtの [Voi11] など。

Meyer と Nest [MN06] は, Kasparov category という \(G\)-\(C^*\)-algebra の圏を用いて, Baum-Connes assembly map を記述しょうとしている。

関連した予想に, group ring の algebraic \(K\)-theory に関する Farrell-Jones 予想がある。Bartels と Lück と Reich の [BLR08] や Lück の [Lüc10b; Lüc10a] を見るとよい。

• Farrell-Jones 予想

Farrell-Jones 予想も含めた, Farrell と Jones の仕事についての survey と して, Jim Davis の [Dav12] がある。

Balmer と Matthey [BM04b] は, 図式の圏のモデル構造の言葉で, Baum-Connes 予想や Farrell-Jones 予想を formulate しようとしている。そのために, codescent という概念を導入して, 調べている [BM04a; BM06]。

この手の予想に現れる assembly map については, Lück の [Lüc20] がある。

• assembly map

それを orbit category から spectrum の category への functor を用いて表わすことを考えたのは Davis と Lück の [DL98] である。それにより, 各種 assembly map が統一的に扱えるようになる。そして, それを更に一般の model category に値を持つ functor に拡張し, topological Hochschild homologyなど も含めた枠組みを考えているのが, Balmer と Tabuada の [BT13] である。

一般化としては, Bohmann と Szymik [BS] による algebraic theory への拡張もある。

J. Block は [Blo10] で, Baum-Connes 予想の \(K\)-theory の同型と, 代数幾何学や数理物理などでの derived equivalence を統一して扱うために, dg category などを用いた枠組みを考えているが, Balmer と Tabuada の, より topological なものと本質的に同じなのだろうか。

Novikov予想については, 特異点を持つ多様体への一般化も考えられている。 もちろん, Poincaré duality が必要になるので, intersection homology や \(L^2\)-cohomologyで Poincaré duality をみたすような空間でないといけない。 この手の一般化については, Albin らの [Alb+12; Alb+; Alb+17] がある。

References

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