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位相空間のコンパクト性の概念の一般化や変種は, 様々なものが考えられている。よく目にするのは次の三つだろう。
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コンパクト (compact)
- 局所コンパクト (locally compact)
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パラコンパクト (paracompact)
局所コンパクト空間について詳しく調べたものとして, Taylor の [Tay06] がある。もちろん,
たいていの位相空間論の教科書には基本的なことは書いてある。
基本的な性質としては以下のものが挙げられる。
- コンパクト空間の連続写像による像はコンパクト。
- 局所コンパクト空間の閉部分空間は局所コンパクト。
- 局所コンパクト Hausdorff 空間の開部分空間は局所コンパクト。
- より正確には, 局所コンパクト Hausdorff 空間の部分空間 \(A\) が局所コンパクトであるための必要十分条件は, 開集合 \(U\) と閉集合
\(F\) により, \(A=U\cap F\) と表わされること。
- コンパクト空間の任意個の直積はコンパクト。
4番目の, 局所コンパクト Hausdorff 空間の中の局所コンパクト部分空間の特徴付けは, 例えば Dugundi の本 [Dug78] の
Chapter XI section 6 に書いてある。
パラコンパクトや局所コンパクトの条件と Hausdorff を組み合わせると, 可縮な空間による numerable な被覆を持つという,
良い性質を持った空間になる。
これらは, ファイバー束の理論などでも重要である。 Dold の [Dol63] を参照のこと。Schwamberger と Vogt
[SV09] は, そのような空間の一般的な性質を調べている。
- コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像は, 閉写像である。 よってコンパクト空間から Hausdorff
空間への連続な全単射は, 同相写像である。
- Urysohn の補題
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\(\mathrm {T}_{1}\) 空間については, パラコンパクト Hausdorff であることと, 任意の開被覆に従属する \(1\) の分割を持つことは, 同値である。
また局所有限な\(1\)の分割を持つこととも同値である。
- パラコンパクト Hausdorff 空間は正規 (normal) である。
- 特に, コンパクト Hausdorff 空間は正規である。
- 局所コンパクト Hausdorff 空間は正則 (regular) である。
- 局所コンパクト Hausdorff 空間の一点コンパクト化は Hausdorff である。
3番目の性質については, Michael の [Mic53] に Proposition 2 として述べられている。
また, CW複体がパラコンパクトであることも知っておくべきである。 これは, Miyazaki の結果 [Miy52]
である。
コンパクト Hausdorff 空間やその圏の特徴付けには, 実に様々なものがある。例えば, 可換な単位元を持つ
\(C^{*}\)-algebra の圏の opposite category と同値になる, というのが Gel\('\)fand-Naimark duality
である。他に目にしたものを挙げると次のようになる。
また, この MathOverflow の質問 では, compact Hausdorff space の圏の universal property
による特徴付けがあるか, が聞かれているが, いくつかの興味深い回答が集っている。
コンパクト化には, 局所コンパクト空間の一点コンパクト化以外にも様々な方法がある。
- Stone-Čech compactification
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Higson compactification
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