Atiyah-Singer の指数定理

\(K\) 理論に関連した幾何学的な話題として, Atiyah-Singer の指数定理は最も重要なものである。入門書としては, Lawson と Michelsohn [LM89] がよいと思う。というより, 他の本や論文はまともに読んだことがない。Booss と Bleecker の本 [BB85] が良いという人も多い。ArXiv には [Lan] という \(K\) 理論と指数定理についての簡単な解説もある。他にも この MathOverflow の質問への回答で, 幾つかの本や論文, そして lecture note が紹介されている。

• Dirac operator
• pseudo-differential operator
• symbol
• elliptic operator

\(K\)理論に関連したホモトピー論的な不変量, 例えば, \(e\)-invariant との関係については Atiyah と Patodi と Singer の [APS75] にある。

指数定理の対象を広げようというのは自然な欲求である。一般化としては, まず equivariant なものがある。それを更に一般化するのが orbifold version である。Farsi の [Far] や Bunke の [Bun07] の Introduction と参考文献を見るとよい。

境界を持つ多様体, さらに corner を持つ多様体となると, かなり面倒になる。Bunke の [Bun09] は, 任意の codimension の corner を持つ多様体上の Dirac operator を考えるための枠組みを準備しようという試みである。他に, Monthubert と Nistor の [MN12] がある。より一般に stratified manifold については, Nazaikinskii と Savin と Sternin の試み [NSS09] がある。

[Pon06] は, Heisenberg manifold 上の hypoelliptic operator に対する指数定理を目指している。

Quillen が Riemann 面上で定義 [Qui85] し, Bismut と Freed が偶数次元多様体に拡張した [BF86a; BF86b] determinant line bundle の類似は, 奇数次元の多様体の場合は gerbe を使って構成できる [Lot02] らしい。

• Lott の index gerbe

可微分多様体に関する多くのことは, その上の可微分関数環から分かる。 指数定理も, 関数環, より一般に環と加群の言葉で表わせるのではないか, というアイデアに基づくのが algebraic index theorem である。 指数定理の非可換版と言ってもいいだろう。

これについては, Nest と Tsygan の一連の論文 [NT95; NT99] を読むべきだろう。 後者は ArXiv にある。他に Fedosov の [Fed96] という approach もある。[CD05] の Introduction を見るとよい。これらの orbifold 版が Pflaumと P osthuma と Tang の [PPT07] である。 Poisson manifold に対しては, Dolgushev の [Dol07] という試みがある。

非可換幾何の創始者である Connes も, Chern character の非可換版を考えている。 [Con85; CM95] である。後者を考察したのが [Ger] である。

References

[APS75]

M. F. Atiyah, V. K. Patodi, and I. M. Singer. “Spectral asymmetry and Riemannian geometry. II”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 78.3 (1975), pp. 405–432. url: https://doi.org/10.1017/S0305004100051872.

[BB85]

B. Booss and D. D. Bleecker. Topology and analysis. Universitext. The Atiyah-Singer index formula and gauge-theoretic physics, Translated from the German by Bleecker and A. Mader. New York: Springer-Verlag, 1985, pp. xvi+451. isbn: 0-387-96112-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4684-0627-6.

[BF86a]

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[BF86b]

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[Bun07]

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[Bun09]

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[CD05]

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[CM95]

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[Dol07]

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[Lan]

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[LM89]

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[MN12]

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[NSS09]

V. E. Nazaı̆kinskiı̆, A. Yu. Savin, and B. Yu. Sternin. “The Atiyah-Bott index on stratified manifolds”. In: Sovrem. Mat. Fundam. Napravl. 34 (2009), pp. 100–108. arXiv: 0711.4385. url: https://doi.org/10.1007/s10958-010-0081-0.

[NT95]

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[NT99]

Ryszard Nest and Boris Tsygan. “On the cohomology ring of an algebra”. In: Advances in geometry. Vol. 172. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1999, pp. 337–370. arXiv: math/9803132.

[Pon06]

Raphaël Ponge. “The tangent groupoid of a Heisenberg manifold”. In: Pacific J. Math. 227.1 (2006), pp. 151–175. arXiv: math/0404174. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2006.227.151.

[PPT07]

M. J. Pflaum, H. B. Posthuma, and X. Tang. “An algebraic index theorem for orbifolds”. In: Adv. Math. 210.1 (2007), pp. 83–121. arXiv: math/0507546. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.05.018.

[Qui85]

Daniel Quillen. “Superconnections and the Chern character”. In: Topology 24.1 (1985), pp. 89–95. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90047-3.