手術の理論

微分トポロジー (最近では geometric topology と呼ぶことが多くなったが) における大きな理論の一つが手術 (surgery) の理論である。

基本的な問題は, 与えられた位相空間が多様体のホモトピー型を持つか, あるいは, ある多様体と homotopy 同値や simple homotopy 同値になる多様体がどれぐらいあるかを考えることである。 そのため, 手術の理論ではホモトピー論のテクニックが重要な役割を果す。 John Klein の [Kle07] の Introduction にもあるように, ホモトピー論の進歩により, かつては手が出なかった, あるいは多様体の理論に頼らざるを得なかった証明が, ホモトピー論だけでできるようになっている。この John Klein の論文では, finitely dominated Poincaré duality space の間の Poincaré embedding の存在と一意性がホモトピー論的に証明してある。

このように, 90年代に入ってからのホモトピー論的な手法による進歩が著しいため, 基本的な文献として何を挙げるべきかよくわからない。 70年代の手術の理論についてなら, Wall の本 [Wal99] があるが。これは最近 AMS から再版されて, 入手しやすくなった。 Ferry, Ranicki, Rosenberg の Novikov 予想の歴史に関する [FRR95] には, surjery の歴史についても書かれているので, まずは, これを読んでみてもよいと思う。 最近の解説としては, Lück の [Lüc02] や Lurie の lecture notes [Lur] がある。

• Poincaré duality space
• finitely dominated space
• Poincaré embedding
• Wall の \(L\)-group
• \(BG\), \(B\mathrm {PL}\), \(B\mathrm {Top}\) などの無限ループ空間
• surgery exact sequence

Wall の finiteness obstruction [Wal65; Wal66b] については, Pedersen の解説 [Ped17] がある。

\(G\) は球面の自己ホモトピー同値を表すが, この記号は一般の群を表すのにも 使われるのであまり良くないと思う。 \(BG\), \(B\mathrm {PL}\), \(B\mathrm {Top}\) などは, \(B\mathrm {PL}(n)\) や \(B\mathrm {Top}(n)\) などから homotopy theoretic group completion により作られるので, group completion theorem により, 無限ループ空間になることが分かる。

この MathOverflow の質問に対する Peter May の comment によると, \(B\mathrm {Top}(n)\) や関連した空間については, 分かっていないことが色々あるようである。 コホモロジーも分かっていないらしい。

Wall の surgery exact sequecne は, Quinn や Ranicki により spectrum の言葉に書き直されている。

• Quinn の bordism-type spectrum [Qui70; Qui95]
• Ranicki の algebraic surgery exact sequence [Ran79; Ran81]
• Hambelton と Kharshiladze の surgery spectral sequence [KK92]

Laures と McClure [LM14] は, Quinn の bordism-type spectrum を symmetric spectrum と関連づけようとしている。

Jimenez と Muranov と Repovš の [JMR] は, surgery spectral sequence の構成に現われる spectrum の filtration に対し, 幾何学的意味付けを行なおう, という試みである。

手術の理論では, とりあえず CW 複体を作っておいて, それとホモトピー同値になる多様体を探す, ということも行なう。 CW 複体とsimple homotopy 同値になる \(n\)次元多様体 (とそのホモトピー同値写像の組) を \(n\)-thickening と呼ぶが, Aouina ら [AK06; Aou12] は, \(n\)-thickening の成す空間 (moduli space) を調べている。

• 有限CW複体の \(n\)-thickening
• \(K\) の \(n\)-thickening の同値類の成す集合 \(\mathcal {T}_n(X)\)
• \(\mathcal {T}_n(X)\) に関する Wall の suspension theorem [Wal66a; AK06]
• \(5\)次元以上のPoincaré duality complex は total surgery obstruction が消えれば, compact 多様体とホモトピー同値になる。(Ranicki の [Ran79])

Hegenbarth と Repovš の [HR06] は, この Ranicki の結果を \(4\) 次元に拡張しようという試みである。

手術の理論と関連して controlled topology という分野がある。そのために Quinn が [Qui79; Qui82] で導入したのが controlled algebra である。様々な概念の controlled version を作ろうという試みがあるが, algebraic \(K\)-theory の controlled version が Quinn により [Qui12] で提案されている。 それ以前は, controlled algebraic \(K\)-theory がなかったため, その代わりに pseudo-isotopy を用いて議論されていたが, それらの議論を全て置き換えることを目指しているようである。

References

[AK06]

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[Aou12]

Mokhtar Aouina. “The moduli space of thickenings”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.12 (2012), pp. 6689–6717. arXiv: math/0702500. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05645-5.

[FRR95]

Steven C. Ferry, Andrew Ranicki, and Jonathan Rosenberg. “A history and survey of the Novikov conjecture”. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993). Vol. 226. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995, pp. 7–66. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511662676.003.

[HR06]

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[JMR]

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[KK92]

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[Lur]

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[Ped17]

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[Ran79]

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[Ran81]

Andrew Ranicki. Exact sequences in the algebraic theory of surgery. Vol. 26. Mathematical Notes. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1981, pp. xvii+864. isbn: 0-691-08276-6.

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[Wal66a]

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[Wal66b]

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[Wal99]

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