特異点と特異点を持った (代数) 多様体の研究

特異点とは滑らかでない点のことである。つまり, 滑らかさが定義できるものなら特異点も定義できる, ということになる。例えば, 可微分多様体や代数多様体などである。

特異点には様々なアプローチがある。 まず, 特異点を持つ多様体は, stratified space として考えるのが普通である。

• Whitney stratification

ホモロジー代数的には, Orlov の triangulated category of singularities [Orl06; Orl09] がある。

• triangulated category of singularities

Coherent sheaf の derived category を perfect complex の成す subtriangulated category で割ったものを triangulated category of singularities と定義している。つまり perfect complex が smooth な部分に対応しているというアイデアである。Homological mirror symmetry conjecture と関係があるらしい。

特異点の中には, もちろん, 易しいものと難しいものがある。 易しいものの代表は, orbifold の特異点だろうか。多様体と同様の扱いができる。

• Klein 型の特異点

超平面の配置を代数多様体と思えば, その特異点は超平面の交わりであり, 易しい方だと言えるだろう。これらの他にも, いくつかの型に分類されている。

特異点を持った多様体を調べる道具として重要なのが intersection cohomology である。

• intersection cohomology

特異点があると, それを解消したくなる。有名なのは, もちろん, Hironaka の [Hir64] である。特異点の解消のために はblow-up という操作が重要である。Blow-up を学ぶためには, Hartshorne の [Har77] を最初に読むと良いかもしれない。

• Blow-up
• Hironaka の特異点の解消

Hironaka の特異点の解消についての解説としては, Hauser の [Hau03] や Kollár の[Kol] がある。より詳しいものとしては, Kollár の本 [Kol07] や Cutkosky の本 [Cut04] がある。

Math Overflow のこの質問に対する Borcherds の回答によると, 特異点の解消については, Hironaka のものとは独立の, ずっと短かい証明があるようである。Abramovich と de Jong の [AJ97] と Bogomolov と Pantev の [BP96] である。

Hauser と Schicho の [HS] によると, 現在, 標数 \(0\) の体上の任意の次元の variety の特異点の解消の証明は, 少なくとも9種類あるようである。 彼等は, 特異点の解消の証明の logical structure に基づいた graph 上の game を考えている。

正標数の場合は, まだ open problem であるが, 何が難しいかについては, Hauser の解説 [Hau10] がある。 そこでも Hironaka’s recent approach として言及されているように, Hironaka は, 正標数の場合をずっと考えていたようで, 最近 preprint がホームページで公開された。 MathOverflow で話題になっていて知った。

特異点を持った多様体は tangent bundle を持たないが, それでも vector field の概念が定義できる。Seade の [Sea07] は, その index についての解説である。

Smooth な場合に tangent bundle を用いて定義されているものとして characteristic class があるが, Hirzebruch らの characteristic class の理論も, 特異点を持った多様体に拡張されている。

• 特異点を持った多様体の characteristic class

特異点を持った多様体や写像の cobordism も考えることができる。

• 特異点を持った多様体や写像の cobordism

特異点と関係が深いものとして, 他に monodromy がある。

• monodromy

References

[AJ97]

D. Abramovich and A. J. de Jong. “Smoothness, semistability, and toroidal geometry”. In: J. Algebraic Geom. 6.4 (1997), pp. 789–801. arXiv: alg-geom/9603018.

[BP96]

Fedor A. Bogomolov and Tony G. Pantev. “Weak Hironaka theorem”. In: Math. Res. Lett. 3.3 (1996), pp. 299–307. arXiv: alg-geom/ 9603019. url: http://dx.doi.org/10.4310/MRL.1996.v3.n3.a1.

[Cut04]

Steven Dale Cutkosky. Resolution of singularities. Vol. 63. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, pp. viii+186. isbn: 0-8218-3555-6.

[Har77]

Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. New York: Springer-Verlag, 1977, pp. xvi+496. isbn: 0-387-90244-9.

[Hau03]

Herwig Hauser. “The Hironaka theorem on resolution of singularities (or: A proof we always wanted to understand)”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40.3 (2003), pp. 323–403. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-03-00982-0.

[Hau10]

Herwig Hauser. “On the problem of resolution of singularities in positive characteristic (or: a proof we are still waiting for)”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 47.1 (2010), pp. 1–30. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-09-01274-9.

[Hir64]

Heisuke Hironaka. “Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109–203; ibid. (2) 79 (1964), pp. 205–326.

[HS]

Herwig Hauser and Josef Schicho. A Game for the Resolution of Singularities. arXiv: 1010.0163.

[Kol]

János Kollár. Resolution of Singularities – Seattle Lecture. arXiv: math/0508332.

[Kol07]

János Kollár. Lectures on resolution of singularities. Vol. 166. Annals of Mathematics Studies. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007, pp. vi+208. isbn: 978-0-691-12923-5; 0-691-12923-1.

[Orl06]

D. O. Orlov. “Triangulated categories of singularities, and equivalences between Landau-Ginzburg models”. In: Mat. Sb. 197.12 (2006), pp. 117–132. arXiv: math/0503630. url: http://dx.doi.org/10.1070/SM2006v197n12ABEH003824.

[Orl09]

Dmitri Orlov. “Derived categories of coherent sheaves and triangulated categories of singularities”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. II. Vol. 270. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 503–531. arXiv: math/0503632. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4747-6_16.

[Sea07]

José Seade. “Indices of vector fields on singular varieties: an overview”. In: Singularity theory. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, pp. 953–976. arXiv: math/0603582. url: https://doi.org/10.1142/9789812707499_0038.