Weyl groupoid

Weyl groupoid は, その名の通り, Weyl群の groupoid への拡張である。Cuntz と Heckenberger に より [CH09] で導入された。

Heckenberger と Welker の [HW11] によると, その起源は Lie superalgebra の研究と Hopf algebra の研究 ( Nichols algebra) の2つのようである。

• Lie superalgebra の Weyl groupoid ([KT95])
• Nichols algebra や Yetter-Drinfeld module の Weyl groupoid ([AS02; Hec06; HS10])

Cartan matrix とその Weyl群の関係を一般化するために, Cuntz と Heckenberger [CH09] は, Cartan scheme という概念を定義し, そこから Weyl groupoid や root 系を定義している。

• Cartan scheme
• root system of Cartan scheme

Heckenberger と Welker は, Coxeter group に関することを Weyl groupoid に一般化しようとしている。Reflection arrangement でない hyperplane arrangement も Weyl groupoid を使うと代数的に解釈できることが多いようで, 興味深い。

逆に, Cuntz [Cun11] は, crystallographic arrangement という simplicial arrangement の class を定義し, それにより Weyl groupoid を特徴付けることを考えている。 Cuntz と Heckenberger [CH15] は, その分類を行なっている。

• crystallographic arrangement

より一般に, Weyl groupoid と simplicial arrangement の関係は, Heckenberger と Welker [HW11] により調べられている。

Cuntz と Mühlherr と Weigel [CMW17] は Tits arrangement という infinite simplicial arrangement を定義し, 調べている。

• Tits arrangement

Cuntz は Ohrmann と共に [CO23] で Heckenberger による diagonal type の Nichols algebra からの Weyl groupoid の構成を一般化している。

References

[AS02]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “Finite quantum groups over abelian groups of prime exponent”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 35.1 (2002), pp. 1–26. arXiv: math/0009119. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(01)01082-5.

[CH09]

M. Cuntz and I. Heckenberger. “Weyl groupoids with at most three objects”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.6 (2009), pp. 1112–1128. arXiv: 0805.1810. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.11.009.

[CH15]

Michael Cuntz and István Heckenberger. “Finite Weyl groupoids”. In: J. Reine Angew. Math. 702 (2015), pp. 77–108. arXiv: 1008.5291. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0033.

[CMW17]

M. Cuntz, B. Mühlherr, and Ch. J. Weigel. “Simplicial arrangements on convex cones”. In: Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 138 (2017), pp. 147–191. arXiv: 1505.08024. url: https://doi.org/10.4171/RSMUP/138-8.

[CO23]

Michael Cuntz and Tobias Ohrmann. “Higher braidings of diagonal type”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 19 (2023), Paper No. 019, 23. arXiv: 2204.05720. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2023.019.

[Cun11]

M. Cuntz. “Crystallographic arrangements: Weyl groupoids and simplicial arrangements”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 43.4 (2011), pp. 734–744. arXiv: 1006.1997. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdr009.

[Hec06]

I. Heckenberger. “The Weyl groupoid of a Nichols algebra of diagonal type”. In: Invent. Math. 164.1 (2006), pp. 175–188. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0474-8.

[HS10]

I. Heckenberger and H.-J. Schneider. “Root systems and Weyl groupoids for Nichols algebras”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 101.3 (2010), pp. 623–654. arXiv: 0807.0691. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdq001.

[HW11]

István Heckenberger and Volkmar Welker. “Geometric combinatorics of Weyl groupoids”. In: J. Algebraic Combin. 34.1 (2011), pp. 115–139. arXiv: 1003.3231. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-010-0264-2.

[KT95]

S. M. Khoroshkin and V. N. Tolstoy. “Twisting of quantized Lie (super)algebras”. In: Quantum groups (Karpacz, 1994). PWN, Warsaw, 1995, pp. 63–84.