例外型のLie群やLie代数

例外型のLie群には様々な不思議なことがある。 有限次元単純Lie環の分類は, かなり古い話題であるが, 今でも例外群については, 新しいことが発見されているのは驚くべきことだろう。

• \(G_2\)
• \(F_4\)
• \(E_6\)
• \(E_7\)
• \(E_8\)

日本では, 信州大学で横田先生とその周辺の方々が, 例外型Lie群と関連した空間の具体的な実現について詳しく調べてきた。 その結果は著書 [横田一92] にまとめられているが, その英語版が, arXiv から [Yok] として入手できるようになった。

例外型のLie群の実現のためには, Cayley-Dickson algebra, 特に, 八元数が必要になる。

もちろん他にも様々な人により調べられている。 目にした話題を以下にメモした。

• Deligne [Del96]の系列

  この MathOverflow の質問の Noah Snyder による回答をみるとよい。 そこで参照されている Dylan Thurston の論文は ここから download できる。

  これについては, とりあえず Cvitanović の本 [Cvi08] を見るのが良いと思う。

  関連して, Landsberg と Manivel の論文 [LM02] がある。 また彼等は, [LM06] で 7元数を用いた \(E_{7\frac{1}{2}}\) について調べている。

• Baez と Dolan と Huerta の [BH]

  彼等は “projective ball の周りを回る ball による \(G_2\) の解釈を与えている。これについては, Baez や Huerata が \(n\)-Category Café などに書いている。

  • Split Octonions and Rolling Ball (\(n\)-Category Café)
  • \(G_2\) and the Rolling Ball (\(n\)-Category Café)
  • Rolling Balls and Circles (Baezによる解説)
• \(G_2\)-geometry

  Agricola による AMS の Notices の記事 [Agr08] によると, これは19世紀終り頃の Friedlich Engel による \(G_2\) の解釈の発見による。この Agricola の記事には, 最近の理論物理で使われていることが書かれている。

References

[Agr08]

Ilka Agricola. “Old and new on the exceptional group \(G_2\)”. In: Notices Amer. Math. Soc. 55.8 (2008), pp. 922–929.

[BH]

John C. Baez and John Huerta. \(G_2\) and the Rolling Ball. arXiv: 1205.2447.

[Cvi08]

Predrag Cvitanović. Group theory. Birdtracks, Lie’s, and exceptional groups. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008, pp. xiv+273. isbn: 978-0-691-11836-9.

[Del96]

Pierre Deligne. “La série exceptionnelle de groupes de Lie”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 322.4 (1996), pp. 321–326.

[LM02]

J. M. Landsberg and L. Manivel. “Triality, exceptional Lie algebras and Deligne dimension formulas”. In: Adv. Math. 171.1 (2002), pp. 59–85. arXiv: math/0107032. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2002.2071.

[LM06]

J. M. Landsberg and L. Manivel. “The sextonions and \(E_{7\frac 12}\)”. In: Adv. Math. 201.1 (2006), pp. 143–179. arXiv: math/0402157. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.02.001.

[Yok]

Ichiro Yokota. Exceptional Lie groups. arXiv: 0902.0431.

[横田一92]

横田一郎. 例外型単純リー群. 京都: 現代数学社, 1992.