例外型のLie群やLie代数

例外型の Lie群には様々な不思議なことがある。 有限次元単純Lie環の分類は, かなり古い話題であるが, 今でも例外群については, 新しいことが発見されているのは驚くべきことだろう。

• \(G_2\)
• \(F_4\)
• \(E_6\)
• \(E_7\)
• \(E_8\)

日本では, 信州大学で横田先生とその周辺の方々が, 例外型Lie群と関連した空間の具体的な実現について詳しく調べてきた。 その結果は著書 [横田一92] にまとめられているが, その英語版が, arXiv から入手できるようになった。 2025年には Springer Lecture Notes in Mathematics の第2369巻 [Yok25] として出版された。

例外型のLie群の実現のためには, Cayley-Dickson algebra, 特に, 八元数が必要になる。

もちろん他にも様々な人により調べられている。 目にした話題を以下にメモした。

• Deligne [Del96]の系列

  この MathOverflow の質問の Noah Snyder による回答をみるとよい。 そこで参照されている Dylan Thurston の論文は ここから download できる。

  これについては, とりあえず Cvitanović の本 [Cvi08] を見るのが良いと思う。

  関連して, Landsberg と Manivel の論文 [LM02] がある。 また彼等は, [LM06] で 7元数を用いた \(E_{7\frac {1}{2}}\) について調べている。

• Baez と Dolan と Huerta の [BH14]

  彼等は “projective ball の周りを回る ball による \(G_2\) の解釈を与えている。これについては, Baez や Huerata が \(n\)-Category Café などに書いている。

  • Split Octonions and Rolling Ball (\(n\)-Category Café)
  • \(G_2\) and the Rolling Ball (\(n\)-Category Café)
  • Rolling Balls and Circles (Baezによる解説)

• \(G_2\)-geometry

  Agricola による AMS の Notices の記事 [Agr08] によると, これは19世紀終り頃の Friedlich Engel による \(G_2\) の解釈の発見による。この Agricola の記事には, 最近の 理論物理で使われていることが書かれている。

References

[Agr08]

Ilka Agricola. “Old and new on the exceptional group \(G_2\)”. In: Notices Amer. Math. Soc. 55.8 (2008), pp. 922–929.

[BH14]

John C. Baez and John Huerta. “\(\mathrm {G}_2\) and the rolling ball”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 366.10 (2014), pp. 5257–5293. arXiv: 1205.2447. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05977-1.

[Cvi08]

Predrag Cvitanović. Group theory. Birdtracks, Lie’s, and exceptional groups. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008, pp. xiv+273. isbn: 978-0-691-11836-9.

[Del96]

Pierre Deligne. “La série exceptionnelle de groupes de Lie”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 322.4 (1996), pp. 321–326.

[LM02]

J. M. Landsberg and L. Manivel. “Triality, exceptional Lie algebras and Deligne dimension formulas”. In: Adv. Math. 171.1 (2002), pp. 59–85. arXiv: math/0107032. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2002.2071.

[LM06]

J. M. Landsberg and L. Manivel. “The sextonions and \(E_{7\frac {1}{2}}\)”. In: Adv. Math. 201.1 (2006), pp. 143–179. arXiv: math/0402157. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.02.001.

[Yok25]

Ichiro Yokota. Exceptional Lie groups. Vol. 2369. Lecture Notes in Mathematics. Edited by Takao Imai, Tetsuo Ishihara, Kazuyuki Mitsuishi, Takashi Miyasaka, Toshikazu Miyashita, Akihiro Nishio, Osamu Shukuzawa and Osami Yasukura. Springer, Cham, [2025] ©2025, pp. xix+249. isbn: 978-3-031-88910-3; 978-3-031-88911-0. arXiv: 0902.0431. url: https://doi.org/10.1007/978-3-031-88911-0.

[横田一92]

横田一郎. 例外型単純リー群. 京都: 現代数学社, 1992.