Reflection Groups and Related Topics

Lie 群論で現れる Weyl 群は, 超平面に関する鏡映で生成される。 それを一般化したのが, reflection group であり, Coxeter group である。 Coxeter group の定義では, 生成元を指定する必要があるので, 生成元も含めた Coxeter system という概念もある。 Lie 群と共に, 分類空間等を用いて構成する空間の例としてホモトピー論でも重要である。 直接関係ある分野としては, hyperplane arrangement の研究がある。

鏡映群の教科書としては, 例えば, [Hum90; GB85] などがある。 Grove と Benson の本は短かいので, 学生のセミナーで何度か使ったことがある。

Armstrong の thesis [Arm09] も最近の Coxeter group に関する話題や基本的なことが説明してあって有用である。 Oriented matroid に関する Björner らの本 [Bjö+99] の reflection arrangement の部分も見るとよい。 Björner は, Brenti と [BB05] という Coxeter group についての本も書いている。Dolgachev は [Dol08] という 代数幾何における reflection group の survey を書いている。

• real reflection arrangement
• real reflection group
• Weyl group
• Coxeter group と Coxeter system
• complex reflection group

多項式環の積を行列で捻った skew polynomial algebra への一般化が Kirkman と Kuzmanovichと Zhang [KKZ10] により得られている。 そこに現れる群を Bazlov と Berenstein [BB14] は, mystic reflection group と呼んで調べている。Bazlov らの仕事 [BB09] にも独立に現れたようである。 また一つの homogeneous degree への作用だけ考えて, projective reflection group という一般化 [Cas11] も定義されている。

• mystic reflection group
• projective reflection group

Kirillov と Maeno の [KM10] によると, Coxeter group の場合には Dunkl operator を用いて coinvariant で特徴付けることもできるらしい。 彼らは, Dunkl と Opdam による一般化 [DO03] を用いて, Dunkl の結果の一般化を考えている。Flag variety の コホモロジーが Weyl 群 の coinvariant を用いて表されること, finite Coxeter group の coinvariant が Nichols-Woronowicz algebra という braided Hopf algebra に埋め込める [Baz06] など, 関連したことが色々あって興味深い。

• Dunkl (Dunkl-Opdam) operator
• Nichols-Woronowicz algebra

Reflection group の性質を調べるときは, 対応する reflection arrangement の言葉を使うと分かりやすいこともある。 例えば, weak Bruhat order は reflection arrangement の chamber (tope) の集合に定義された poset の構造と考えると幾何学的な意味が分かる。Reflection arrangement については, [Bjö+99] の §2.3 に簡潔にまとめられている。

• weak Bruhat order
• strong Bruhat order
• tilted Bruhat order ([BFP99])

一般化としては, まず Manin と Schechtman [MS86b; MS86a; MS89] による higher Bruhat order がある。その一般化が, Danilov, Karzanov, Koshevoy の [DKK24; DKK] で考えられている。

Reflection group はその reflection hyperplane 達に作用するため, 対応する reflection arrangement で生成されたベクトル空間に作用する。 その表現を braid 群の表現として deform することにより, Marin は [Mar09] で complex reflection group の新しい表現を定義している。またその過程で, reflection group \(W\) の不変量 \(\kappa (W)\) を定義している。その数は, Beck [Bec11] によりコホモロジーを用いた解釈が得られている。

Reflection group や Coxeter group を考える時は, 対称群を例にとって考えると良い。 実際, 対称群に関する様々な概念の一般化が知られている。

例えば, complex reflection group に対しては, Hecke algebra が定義される。 それに associate した braid 群の group ring の quotient として定義される。他にも reflection から定義される algebra には様々なものがある。

• braid group
• Artin group
• reflection から定義される algebra

Reflection を pseudoreflection にして定義されるのが complex reflection group であるが, 他にも様々な一般化が考えられている。 例えば Weyl 群の cluster algebra による表示を, 三角形分割された曲面から得られる図式により定義される群に一般化したものとして, Felikson と Tumarkin の [FT16] がある。 その拡張が [FST] で導入されている。

Euclid空間は定曲率多様体の一つであり, その観点からは球面や双曲空間の reflection groupを考えることも自然な問題である。実際, Dolgachevのsurvey [Dol08]では定曲率空間のreflection groupとして統一して扱われ ている。

• hyperbolic reflection group

より一般に, Riemann多様体上の “reflection” で生成された群については, 結構古くから調べられているようである。 Straume の [Str81]によると, Weyl や Koszul [Kos65]により研究が始められたようである。Straume のは位相空間の場合であるが, Riemann多様体の場合は, その後 Gutkin の [Gut86], Alexeevskyと Kriegl と Losik と Michor の [Ale+07] などで調べられている。

Das とDeshpande [DD16]は codimension \(1\) submanifold の arrangementの場合について調べている。

Weyl群はCartan matrixで記述することができるが, Cartan matrixのfamily (Cartan scheme) から定義されたWeyl groupoidというものもある。

• Weyl groupoid

群の一般化としては, groupoid の他に monoid もあるが, reflection monoid という概念 [EF10; EF13] も考えられている。

References

[Ale+07]

Dmitri V. Alekseevsky, Andreas Kriegl, Mark Losik, and Peter W. Michor. “Reflection groups on Riemannian manifolds”. In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 186.1 (2007), pp. 25–58. arXiv: math/0306078. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10231-005-0166-4.

[Arm09]

Drew Armstrong. “Generalized noncrossing partitions and combinatorics of Coxeter groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 202.949 (2009), pp. x+159. arXiv: math/0611106. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-09-00565-1.

[Baz06]

Yuri Bazlov. “Nichols-Woronowicz algebra model for Schubert calculus on Coxeter groups”. In: J. Algebra 297.2 (2006), pp. 372–399. arXiv: math/0409206. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.01.037.

[BB05]

Anders Björner and Francesco Brenti. Combinatorics of Coxeter groups. Vol. 231. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer, 2005, pp. xiv+363. isbn: 978-3540-442387; 3-540-44238-3.

[BB09]

Yuri Bazlov and Arkady Berenstein. “Noncommutative Dunkl operators and braided Cherednik algebras”. In: Selecta Math. (N.S.) 14.3-4 (2009), pp. 325–372. arXiv: 0806.0867. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-009-0525-x.

[BB14]

Yuri Bazlov and Arkady Berenstein. “Mystic reflection groups”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 10 (2014), Paper 040, 11. arXiv: 1312.6930. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2014.040.

[Bec11]

Vincent Beck. “Abelianization of subgroups of reflection groups and their braid groups: an application to cohomology”. In: Manuscripta Math. 136.3-4 (2011), pp. 273–293. arXiv: 1003.0719. url: https://doi.org/10.1007/s00229-011-0438-9.

[BFP99]

Francesco Brenti, Sergey Fomin, and Alexander Postnikov. “Mixed Bruhat operators and Yang-Baxter equations for Weyl groups”. In: Internat. Math. Res. Notices 8 (1999), pp. 419–441. arXiv: math/9805079. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792899000215.

[Bjö+99]

Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White, and Günter M. Ziegler. Oriented matroids. Second. Vol. 46. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+548. isbn: 0-521-77750-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511586507.

[Cas11]

Fabrizio Caselli. “Projective reflection groups”. In: Israel J. Math. 185 (2011), pp. 155–187. arXiv: 0902.0684. url: https://doi.org/10.1007/s11856-011-0105-6.

[DD16]

Ronno Das and Priyavrat Deshpande. “Coxeter transformation groups and reflection arrangements in smooth manifolds”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 11.3 (2016), pp. 571–597. arXiv: 1408.3921. url: https://doi.org/10.1007/s40062-015-0117-8.

[DKK]

Vladimir I. Danilov, Alexander V. Karzanov, and Gleb A. Koshevoy. On Manin-Schechtman orders related to directed graphs. arXiv: 2203.06919.

[DKK24]

Vladimir I. Danilov, Alexander V. Karzanov, and Gleb A. Koshevoy. “Higher Bruhat orders of types B and C”. In: J. Algebraic Combin. 60.1 (2024), pp. 241–264. arXiv: 2107.09462. url: https://doi.org/10.1007/s10801-024-01334-x.

[DO03]

C. F. Dunkl and E. M. Opdam. “Dunkl operators for complex reflection groups”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 86.1 (2003), pp. 70–108. arXiv: math/0108185. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611502013825.

[Dol08]

Igor V. Dolgachev. “Reflection groups in algebraic geometry”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 45.1 (2008), pp. 1–60. arXiv: math/0610938. url: https://doi.org/10.1090/S0273-0979-07-01190-1.

[EF10]

Brent Everitt and John Fountain. “Partial symmetry, reflection monoids and Coxeter groups”. In: Adv. Math. 223.5 (2010), pp. 1782–1814. arXiv: 0812.2789. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.10.008.

[EF13]

Brent Everitt and John Fountain. “Partial mirror symmetry, lattice presentations and algebraic monoids”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 107.2 (2013), pp. 414–450. arXiv: 1104.0090. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pds068.

[FST]

Anna Felikson, Michael Shapiro, and Pavel Tumarkin. Punctured surfaces, quiver mutations, and quotients of Coxeter groups. arXiv: 2412.04960.

[FT16]

Anna Felikson and Pavel Tumarkin. “Coxeter groups and their quotients arising from cluster algebras”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 17 (2016), pp. 5135–5186. arXiv: 1307.0672. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnv282.

[GB85]

L. C. Grove and C. T. Benson. Finite reflection groups. Second. Vol. 99. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1985, pp. x+133. isbn: 0-387-96082-1.

[Gut86]

Eugene Gutkin. “Geometry and combinatorics of groups generated by reflections”. In: Enseign. Math. (2) 32.1-2 (1986), pp. 95–110.

[Hum90]

James E. Humphreys. Reflection groups and Coxeter groups. Vol. 29. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1990, pp. xii+204. isbn: 0-521-37510-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511623646.

[KKZ10]

E. Kirkman, J. Kuzmanovich, and J. J. Zhang. “Shephard-Todd-Chevalley theorem for skew polynomial rings”. In: Algebr. Represent. Theory 13.2 (2010), pp. 127–158. arXiv: 0806.3210. url: https://doi.org/10.1007/s10468-008-9109-2.

[KM10]

Anatol N. Kirillov and Toshiaki Maeno. “Nichols-Woronowicz model of coinvariant algebra of complex reflection groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.4 (2010), pp. 402–409. arXiv: math/0703748. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.06.008.

[Kos65]

J.-L. Koszul. Lectures on groups of transformations. Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, No. 32. Notes by R. R. Simha and R. Sridharan. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1965, pp. ii+97+iii.

[Mar09]

Ivan Marin. “Reflection groups acting on their hyperplanes”. In: J. Algebra 322.8 (2009), pp. 2848–2860. arXiv: 0809.0384. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.08.005.

[MS86a]

Yu. I. Manin and V. V. Schechtman. “Arrangements of real hyperplanes and Zamolodchikov equations”. In: Group theoretical methods in physics, Vol. I (Yurmala, 1985). Utrecht: VNU Sci. Press, 1986, pp. 151–165.

[MS86b]

Yu. I. Manin and V. V. Shekhtman. “Higher Bruhat orderings connected with the symmetric group”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 20.2 (1986), pp. 74–75.

[MS89]

Yu. I. Manin and V. V. Schechtman. “Arrangements of hyperplanes, higher braid groups and higher Bruhat orders”. In: Algebraic number theory. Vol. 17. Adv. Stud. Pure Math. Boston, MA: Academic Press, 1989, pp. 289–308.

[Str81]

Eldar Straume. “The topological version of groups generated by reflections”. In: Math. Z. 176.3 (1981), pp. 429–446. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01214618.