Nichols Algebra

Nichols algebra は, braided Hopf algebra の一種である。 Bazlov [Baz06]は, Nichols-Woronowicz algebra という言葉を使っているが, それは最初の具体的な構成が Woronowicz [Wor89] により与えられたからのようである。Nichols algebra という呼び名は, Nicholsの仕事 [Nic78] に基いて, Andruskiewitsch と Schneider の [AS00] で導入されたらしい。

Andruskiewitsch と Schneider の pointed Hopf algebra の分類で用いられている。

• Hopf algebraの分類

Nichols algebra は, rack と関係が深い。 Andruskiewitsch と Grana [AG03] は rack から Nichols algebra を作る方法を考えている。

Heckenberger, Lochmann, Vendramin [HLV12] の考えている braided rack という構造も, Nichols algebra に関係したものである。

Heckenberger は, [Hec06] で diagonal type の Nichols algebra に対し, Weyl groupoid というものを定義している。

• Weyl groupoid

Berenstein と Greenstein [BG16] は, Hall algebra の視点から quasi-Nichols algebra を定義し, Sevenhant と Van den Bergh の結果 [SV01] の一般化を得ている。

References

[AG03]

Nicolás Andruskiewitsch and Matías Graña. “From racks to pointed Hopf algebras”. In: Adv. Math. 178.2 (2003), pp. 177–243. arXiv: math/0202084. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(02)00071-3.

[AS00]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “Finite quantum groups and Cartan matrices”. In: Adv. Math. 154.1 (2000), pp. 1–45. url: https://doi.org/10.1006/aima.1999.1880.

[Baz06]

Yuri Bazlov. “Nichols-Woronowicz algebra model for Schubert calculus on Coxeter groups”. In: J. Algebra 297.2 (2006), pp. 372–399. arXiv: math / 0409206. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.01.037.

[BG16]

Arkady Berenstein and Jacob Greenstein. “Primitively generated Hall algebras”. In: Pacific J. Math. 281.2 (2016), pp. 287–331. arXiv: 1209.2770. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2016.281.287.

[Hec06]

I. Heckenberger. “The Weyl groupoid of a Nichols algebra of diagonal type”. In: Invent. Math. 164.1 (2006), pp. 175–188. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0474-8.

[HLV12]

I. Heckenberger, A. Lochmann, and L. Vendramin. “Braided racks, Hurwitz actions and Nichols algebras with many cubic relations”. In: Transform. Groups 17.1 (2012), pp. 157–194. arXiv: 1103.4526. url: https://doi.org/10.1007/s00031-012-9176-7.

[Nic78]

Warren D. Nichols. “Bialgebras of type one”. In: Comm. Algebra 6.15 (1978), pp. 1521–1552. url: https://doi.org/10.1080/00927877808822306.

[SV01]

Bert Sevenhant and Michel Van Den Bergh. “A relation between a conjecture of Kac and the structure of the Hall algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 160.2-3 (2001), pp. 319–332. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(00)00078-5.

[Wor89]

S. L. Woronowicz. “Differential calculus on compact matrix pseudogroups (quantum groups)”. In: Comm. Math. Phys. 122.1 (1989), pp. 125–170. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178320.