対称群について

有限群の重要な例として, 対称群がある。有限群は, 集合としては有限集合であるから, 自分への作用により対称群の部分群とみなすことができるからである。 対称群を表わす記号は, symmetric group の頭文字 S あるいはそれに対応するギリシャ文字 \(\Sigma \) を用い, \(\Sigma _n\) や \(S_n\) などで表わされる。\(S\) の字がドイツ文字 \(\mathfrak {S}\) になっていたりすることもあるが。 このページでは \(\Sigma _n\) を使うことにする。

対称群は, 様々なものに作用するが, 基本は同じものをたくさん“積”を取ったものへの入れ替えによる作用である。 位相空間 \(X\) の \(n\) 個の直積 \(X^n\) には右から \(n\) 次対称群 \(\Sigma _n\) が作用する。この作用は, 多重ループ空間の combinatorial model や Hilbert scheme などで重要である。

• 多重ループ空間の combinatorial model
• 対称積

多重ループ空間のホモロジー作用素や, 特異コホモロジーでの Steenrod operation の構成では, 対称群の (コ)ホモロジーが中心的な役割を果す。

• 対称群の(コ)ホモロジー

また, 多重ループ空間に関係したことでは, symmetric spectrum の構成でも, その名前から当然であるが, 使われている。

\(1\)変数多項式環の \(n\) 個の tensor product への作用による invariant を symmetric function (polynomial) という。特性類, 特に Chern class の定義に必要である。

• symmetric polynomial と elementary symmetric polynomial (基本対称式)

対称群のベクトル空間への作用, つまり表現についての研究も盛んである。

• 対称群の表現
• Hecke algebra

Young diagram (tableaux) は, 対称群の表現を考えるときには, 基本的な道具である。

表現と言えば線形群であるが, 対称群と線形群は共に自然数で添字付けられた群の族ということ以外にも共通点が多い。 その一つの説明として, 対称群を “\(1\)個の元から成る体” \(\F _1\) 上の線形群とみなすというアイデアがある。 この視点に立って, \(K\)-theory と安定コホモトピー群の比較を行ったものとして, Guillot の [Gui] がある。

対称群は, 超平面に関する鏡映で生成されたEuclid空間の等長変換の成す群と 思うことができる。つまり reflection group の一種である。

• reflection group
• braid group

他にも, 関連した組み合せ論的な道具がいろいろある。

• 対称群の元の inversion
• weak Bruhat order

対称群の weak Bruhat order には, 高次元版が存在する。Manin と Schechtman の higher Bruhat order [MS86b; MS86a; MS89] である。その解釈については, Voevodsky と Kapranov [VK91] による \(n\) 次元 cube のある種の部分複体の集合という解釈がある。 次の対称群の元の解釈の一般化である。

• \(n\) 次対称群の元は, \((0,\ldots ,0)\) から \((1,\ldots ,1)\) への 単位立方体 \([0,1]^n\) の辺を通っていく最短の道と一対一に対応
• higher Bruhat order

Voevodsky と Kapranov の対応自身, \(0/1\)-polytope との関連などで面白そうであるが, その証明の中で \(n\)-category が使われている点でも興味深い。

他の reflection group や quiver への一般化としては, Danilov, Karzanov, Koshevoy の [DKKa; DKKb] がある。

対称群の group algebra を集めると associativity operad というものになるが, Aguiar と Livement は [AL07] で weak Bruhat order に関する Möbius 関数を用いた 対称群の group algebra の基底に関し, その operad の構造を求めている。

標数 \(0\) の体上で, 対称群の group algebra の直和 \(\bigoplus _{n\ge 0} k[\Sigma _n]\) に Malvenuto と Reutenauer [MR95] が Hopf algebra の構造を定義している。 Aguiar と Sottile [AS05] によると, その前に Malvenuto の [Mal94] に登場するようであるが。

• Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra

正標数 \(p\) の体 \(k\) 上で考えるとき, \(k[\Sigma _n]\)-module の圏の Grothendieck group を \(n\) に関し直和を取ったものに, \(\hat {\mathfrak {sl}}_p\) が作用するらしい。 これは Chuang と Rouquier の [CR08] の Introduction に書いてあったことであるが, 彼等は Richard によるこの事実の categorification を一般化して, Abelian category の \(\mathfrak {sl}_2\)-categorification という概念を定義している。

全部合わせる前のそれぞれの対称群の group ring についても, もちろん調べられている。例えば integral group ring の center については, Farahat と Higman の結果 [FH59] がある。Wreath product への拡張は, Wang の [Wan04] で行われた。Hilbert scheme のコホモロジーに関係がある。

• 対称群の group ring の center

対称群の変種として, spin symmetric group [Wan09] というものがあるが, Tysse と Wang が [TW09] で, その group ring の center を調べている。

• spin symmetric group

Bryan と Fulman は, [BF98] で, 対称群の元の commuting \(m\)-tuple の個数の公式を求めている。これは orbifold Euler characteristic の一般化に関係している。

無限次の対称群 \(\Sigma _{\infty }\) は, 有限対称群の colimit であるが, 有限群の表現論を拡張したものが成り立たないという意味であまり良い群ではない (wild group) らしい。しかしながら, 自然に位相を入れて位相群として考えその tame representation を考えることはできる。Okounkov の [Oku97] の Introduction にいくつか参考文献が挙げられている。

• 無限次の対称群
• 無限次の対称群の表現

Neretin [Ner12; Ner17] が, その直積や double coset などを調べている。曲面との関係, 特に conformal field theory の combinatorial analogue としての面があるようで興味深い。

無限次の対称群 (とその \(\N \) への作用) を一般化した構造として, oligomorphic group というものがある。 Harman と Snowden [HS] は Cameron の本 [Cam90] を参照している。

• oligomorphic group

Harman と Snowden の §2 に簡潔にまとめられているので, まずはそれを読むのが良いと思う。そこに例もいくつか挙げられている。例えば, 有限体 \(\F \) 上の無限次一般線形群 \(\mathrm {GL}_{\infty }(\F )=\colim _{n}\mathrm {GL}_{n}(\F )\) (とその \(\F ^{\infty }=\colim _{n}F^{n}\)) への作用や, \(\R \) の向きを保つ同相写像の成す群 \(\mathrm {Homeo}_{+}(\R )\) などがある。

References

[AL07]

Marcelo Aguiar and Muriel Livernet. “The associative operad and the weak order on the symmetric groups”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.1 (2007), pp. 57–84. arXiv: math/0511698.

[AS05]

Marcelo Aguiar and Frank Sottile. “Structure of the Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra of permutations”. In: Adv. Math. 191.2 (2005), pp. 225–275. arXiv: math/0203282. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.03.007.

[BF98]

Jim Bryan and Jason Fulman. “Orbifold Euler characteristics and the number of commuting \(m\)-tuples in the symmetric groups”. In: Ann. Comb. 2.1 (1998), pp. 1–6. arXiv: math / 9712248. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01626025.

[Cam90]

Peter J. Cameron. Oligomorphic permutation groups. Vol. 152. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1990, pp. viii+160. isbn: 0-521-38836-8. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511549809.

[CR08]

Joseph Chuang and Raphaël Rouquier. “Derived equivalences for symmetric groups and \(\mathfrak {sl}_2\)-categorification”. In: Ann. of Math. (2) 167.1 (2008), pp. 245–298. arXiv: math / 0407205. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2008.167.245.

[DKKa]

Vladimir I. Danilov, Alexander V. Karzanov, and Gleb A. Koshevoy. Higher Bruhat orders of types B and C. arXiv: 2107.09462.

[DKKb]

Vladimir I. Danilov, Alexander V. Karzanov, and Gleb A. Koshevoy. On Manin-Schechtman orders related to directed graphs. arXiv: 2203. 06919.

[FH59]

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[Gui]

Pierre Guillot. Adams operations in cohomotopy. arXiv: math / 0612327.

[HS]

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[Mal94]

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[MR95]

Clauda Malvenuto and Christophe Reutenauer. “Duality between quasi-symmetric functions and the Solomon descent algebra”. In: J. Algebra 177.3 (1995), pp. 967–982. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1995.1336.

[MS86a]

Yu. I. Manin and V. V. Schechtman. “Arrangements of real hyperplanes and Zamolodchikov equations”. In: Group theoretical methods in physics, Vol. I (Yurmala, 1985). Utrecht: VNU Sci. Press, 1986, pp. 151–165.

[MS86b]

Yu. I. Manin and V. V. Shekhtman. “Higher Bruhat orderings connected with the symmetric group”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 20.2 (1986), pp. 74–75.

[MS89]

Yu. I. Manin and V. V. Schechtman. “Arrangements of hyperplanes, higher braid groups and higher Bruhat orders”. In: Algebraic number theory. Vol. 17. Adv. Stud. Pure Math. Boston, MA: Academic Press, 1989, pp. 289–308.

[Ner12]

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[Oku97]

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[TW09]

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[VK91]

V. A. Voevodskiı̆ and M. M. Kapranov. “The free \(n\)-category generated by a cube, oriented matroids and higher Bruhat orders”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 25.1 (1991), pp. 62–65. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01090678.

[Wan04]

Weiqiang Wang. “The Farahat-Higman ring of wreath products and Hilbert schemes”. In: Adv. Math. 187.2 (2004), pp. 417–446. arXiv: math / 0205071. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2003.09.003.

[Wan09]

Weiqiang Wang. “Double affine Hecke algebras for the spin symmetric group”. In: Math. Res. Lett. 16.6 (2009), pp. 1071–1085. arXiv: math/ 0608074. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2009.v16.n6.a14.