Pointed Hopf Algebra

Pointed Hopf algebra とは, 有限次代数での basic algebra の有限次 Hopf algebra での類似である。 Andruskiewitsch と Schneider の 解説 [AS02] がある。

Grañaと Heckenbergerと Vendramin [GHV11] によると, pointed Hopf algebra の研究を本格的に始めたのは Nichols [Nic78] のようである。また Fang [Fan11] によると, Nichols の結果は, Rosso が [Ros98] で注目するまで忘れ去られていたらしい。

• Nichols algebra

Pointed Hopf algebra の分類は, 1990年代から Andruskiewitsch らにより, 活発に研究されるようになった。その鍵となるのは, Andruskiewitsch と Schenider [AS98] により導入された lifting method である。 これについては, Angiono の ICM 2026 のための論説 [Ang] を見るとよい。

• lifting method

Andruskiewitsch と Schneider は, [AS10] で group-like element の成す群がAbel群でその位数の素因子が7より大きい pointed Hopf algebra の 分類を完成させている。

コホモロジーについては, Mastnak らが [Mas+10] で調べている。

Beneish と Chin [BC15] が covering の概念を導入している。

References

[Ang]

Iván Angiono. Pointed Hopf algebras revisited, with a view from tensor categories. arXiv: 2510.03124.

[AS02]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “Pointed Hopf algebras”. In: New directions in Hopf algebras. Vol. 43. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002, pp. 1–68. arXiv: math/0110136.

[AS10]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “On the classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 375–417. arXiv: math/0502157. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.375.

[AS98]

N. Andruskiewitsch and H.-J. Schneider. “Lifting of quantum linear spaces and pointed Hopf algebras of order \(p^{3}\)”. In: J. Algebra 209.2 (1998), pp. 658–691. arXiv: math/9803058. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7643.

[BC15]

Esther Beneish and William Chin. “Coverings of graded pointed Hopf algebras”. In: J. Algebra 422 (2015), pp. 730–740. arXiv: 1401.8061. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.08.016.

[Fan11]

Xin Fang. “On defining ideals and differential algebras of Nichols algebras”. In: J. Algebra 346 (2011), pp. 299–331. arXiv: 1104.0973. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.08.029.

[GHV11]

M. Graña, I. Heckenberger, and L. Vendramin. “Nichols algebras of group type with many quadratic relations”. In: Adv. Math. 227.5 (2011), pp. 1956–1989. arXiv: 1004.3723. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.04.006.

[Mas+10]

M. Mastnak, J. Pevtsova, P. Schauenburg, and S. Witherspoon. “Cohomology of finite-dimensional pointed Hopf algebras”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 100.2 (2010), pp. 377–404. arXiv: 0902.0801. url: https://doi.org/10.1112/plms/pdp030.

[Nic78]

Warren D. Nichols. “Bialgebras of type one”. In: Comm. Algebra 6.15 (1978), pp. 1521–1552. url: https://doi.org/10.1080/00927877808822306.

[Ros98]

Marc Rosso. “Quantum groups and quantum shuffles”. In: Invent. Math. 133.2 (1998), pp. 399–416. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050249.