Symplectic多様体への torus の作用

Symplectic多様体 \(M\) への Lie群 \(G\) の作用を考える時は, moment map \[ \Phi : M \longrightarrow \mathfrak{g}^* \] を持つもの, つまり Hamiltonian action を考えるのが普通である。

特に, 作用する群が torus のとき, 凸多面体の組み合せ論と関係があって興味深い。 その基礎となるのは, 次の Atiyah [Ati82] と Guillemin-Sternberg [GS82] の結果である。

• \(M\) が torus \(T\) の Hamiltonian action を持つ compact symplectic 多様体ならば, moment map の像は fixed point \(M^T\) の convex hull である。特に, 凸多面体となる。

更に, “compatible” な involution \(\tau : M \to M\) を持つ時, Duistermaat は [Dui83] で real locus という概念を考えた。

• torus の Hamiltonian action と compatible な involution を持つ symplectic manifold の real locus

Duistermaat の結果の一般化については, Hausmann と Holm の [HH11] の Introduction に, 簡潔にまとめられている。

Orbifold あるいは stack version もある。Lerman と Malkin の [LM] で symplectic Delinge-Mumford stack とその上の Hamiltonian group action が定義されている。また torus action の場合も考えられている。より詳しく symplectic Deligne-Mumford stack 上の torus action を考えているのは, Sakai の [Sak] である。

References

[Ati82]

M. F. Atiyah. “Convexity and commuting Hamiltonians”. In: Bull. London Math. Soc. 14.1 (1982), pp. 1–15. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/14.1.1.

[Dui83]

J. J. Duistermaat. “Convexity and tightness for restrictions of Hamiltonian functions to fixed point sets of an antisymplectic involution”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 275.1 (1983), pp. 417–429. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999030.

[GS82]

V. Guillemin and S. Sternberg. “Convexity properties of the moment mapping”. In: Invent. Math. 67.3 (1982), pp. 491–513. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01398933.

[HH11]

Jean-Claude Hausmann and Tara Holm. “Conjugation spaces and edges of compatible torus actions”. In: Geometric aspects of analysis and mechanics. Vol. 292. Progr. Math. Birkhäuser/Springer, New York, 2011, pp. 179–198. arXiv: 0807.3289. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-8244-6_7.

[LM]

Eugene Lerman and Anton Malkin. Hamiltonian group actions on symplectic Deligne-Mumford stacks and toric orbifolds. arXiv: 0908.0903.

[Sak]

Hironori Sakai. The symplectic Deligne-Mumford stack associated to a stacky polytope. arXiv: 1009.3547.