Orbifold の幾何学

Orbifold は多様体の一般化であるから, 多様体を調べるための手法, つまり微分幾何や代数幾何の道具やアイデアを流用して調べることも, 意味がある。

Orbifold の微分幾何学を考えるためには, まずその可微分構造について理解しないといけない。Orbifold の間の可微分写像の良い (合成で閉じている) 定義を与えるために, Iglesias と Karshon と Zadka は, [IKZ10] で diffeology という構造を考えている。可微分 orbifold に対応するのが diffeologcial orbifold である。

Orbifold を topological groupoid の一種と思った時には, stack を使うという方法もある。 Differentiable stack と考えるのがよいと言っているのは, Blohmann [Blo08] である。

• differentiable and Deligne-Mumford stack

微分幾何の概念が, vector bundle や principal bundle の言葉を用いると簡潔に述べられることから, orbifold 上の bundle を考えることは自然である。Seaton [Sea07] によると, orbifold 上の vector bundle には good なものと bad なものがある。

• orbifold 上の good vector bundle

Vector bundle と言えば, \(K\)-theory そして index theory である。

• orbifold \(K\)-theory

Global quotient の場合に, equivariant Dirac operator と orbifold 上の Dirac operator の index を比較しているのが, Bunke の [Bun07] である。 そこに挙げられている文献は, Kawasaki の [Kaw78; Kaw79; Kaw81], そして Farsi の [Far92b; Far92c; Far92a]である。Farsi の [Far09] の Introduction もみるとよい。

Orbifold 上のベクトル場についても, 古くから調べられている。 Euler 標数との関係についても, Satake [Sat57] や Seaton [Sea08] らにより調べられている。

• orbifold 上のベクトル場
• orbifold の Euler 標数

Seaton の [Sea] では, 各 chart に現れる群が巡回群のとき, Chen と Ruan の orbifold cohomology を用いて nowhere vanishing vector field が存在するための条件が述べられている。 Orbifold cohomology は, (additive には) inertia orbifold を用いて述べることができるが, inertia orbifold は \(\Z \) からの functor の成す orbifold とみなすことができる。その \(\Z \) をより一般の群にしたのが, Farsi と Seaton の [FS] である。

Global quotient の場合ならば, Lupercio と Uribe の loop groupoid ([LU02]) を用いて, string topology のまねごとができるようである。Angel, Backelin, Uribe の [ÁBU12] など。

Lackenby は, [Lac] で \(3\)次元 (双曲) 多様体の 基本群の性質から, \(3\)次元 orbifold の基本群と被覆空間を調べている。

多様体の場合は, 埋め込みは submanifold を考えることと同等であるが, orbifold の場合は suborbifold とは異なる orbifold embedding の概念がある。

• orbifold embedding

Cho, Hong, Shin [CHS] によると Adem らの本 [ALR07] にも書かれているが, あまり詳しく調べられていないようである。

Orbifoldに 関連した概念として, branched manifold というものがある。

• branched manifold

[CMS03] で formulate され, ある種の \(G\)-bundle の Euler class を表わすために用いられている。McDuff は [McD06] で任意の compact oriented orbifold は, branched manifold による “resolution” を持つことを示している。

逆に, orbifold を調べることにより, smooth manifold の微分幾何学的性質が分かることもある。Kollár は, orbifold を用いて \(3\) 次元や \(5\) 次元などの低次元多様体の微分幾何学的性質を調べようとしている。 [BGK05; GK; Kol08] など。

より現代的には, orbifold の Gromov-Witten invariant なども考えられている。 Abramovich の [Abr08] を見るとよい。

• orbifold の Gromov-Witten invariant

よって, orbifold cohomology の代数幾何版もいろいろ考えられている。

References

[Abr08]

D. Abramovich. “Lectures on Gromov-Witten invariants of orbifolds”. In: Enumerative invariants in algebraic geometry and string theory. Vol. 1947. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2008, pp. 1–48. arXiv: math/0512372. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-79814-9_1.

[ÁBU12]

Andrés Ángel, Erik Backelin, and Bernardo Uribe. “Hochschild cohomology and string topology of global quotient orbifolds”. In: J. Topol. 5.3 (2012), pp. 593–638. arXiv: 1004.4427. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jts016.

[ALR07]

Alejandro Adem, Johann Leida, and Yongbin Ruan. Orbifolds and stringy topology. Vol. 171. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2007, p. xii 149. isbn: 978-0-521-87004-7; 0-521-87004-6.

[BGK05]

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[Blo08]

Christian Blohmann. “Stacky Lie groups”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN (2008), Art. ID rnn 082, 51. arXiv: math/0702399. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnn082.

[Bun07]

Ulrich Bunke. “Orbifold index and equivariant \(K\)-homology”. In: Math. Ann. 339.1 (2007), pp. 175–194. arXiv: math/0701768. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-007-0111-5.

[CHS]

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[CMS03]

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[Far09]

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[Far92a]

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[Far92b]

Carla Farsi. “\(K\)-theoretical index theorems for orbifolds”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 43.170 (1992), pp. 183–200. url: http://dx.doi.org/10.1093/qmath/43.2.183.

[Far92c]

Carla Farsi. “A note on \(K\)-theoretical index theorems for orbifolds”. In: Proc. Roy. Soc. London Ser. A 437.1900 (1992), pp. 429–431. url: http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1992.0070.

[FS]

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[GK]

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[IKZ10]

Patrick Iglesias, Yael Karshon, and Moshe Zadka. “Orbifolds as diffeologies”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.6 (2010), pp. 2811–2831. arXiv: math/0501093. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05006-3.

[Kaw78]

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[Kaw79]

Tetsuro Kawasaki. “The Riemann-Roch theorem for complex \(V\)-manifolds”. In: Osaka J. Math. 16.1 (1979), pp. 151–159. url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1200771835.

[Kaw81]

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[Lac]

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[LU02]

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