圏と関手

圏 (category) と関手 (functor) は数学のための言語である。その言葉を用い ることにより主張が簡潔になり, また明確になる。 特異ホモロジーEilenbergとSteenrodによ り公理化されたが, 圏と関手の言葉を用いるとホモロジーの公理がかなり簡素 化される。そしてホモロジー代数は圏と関 手の言葉と同時に発展した。現在では, より一般に ホモトピー代数として扱うべきであるが, そのためには圏と関手の言葉を自由に扱うことができるようになることが必要 である。

他にも局所係数も圏と関手の言 葉を用いて定義した方が分りやすい。

そのような「言語としての圏」だけでなく「代数的構造としての圏」も重要で ある。例えば, をsmall categoryとみなすと, 自然に groupoidという一般化が得られ, またその 分類空間の構成も見通しが良くなる。

様々な空間を小圏 (small category) や位相圏 (topological category)分類空間として構成することがで きるし, またそうした方が見通しがよくなる場合も多いので, 「幾何学的対象 としての圏」も重要である。

圏についてはTheory and Applications of Categoriesと言う雑誌があり, そのsiteで 過去に出版された圏 論に関する文献のreprintも公開されている。最近は, category theoryについ てはnLabというWikiが有用である。新しい 話題についても解説されているので助かる。