Limit と colimit

圏と関手の言葉を用いると, 様々な概念が統一的に扱えるようになる。その良い例が, limit と colimit である。

かつて, 逆極限 (inverse limit) とか射影的極限 (projective limit) と呼ばれていたものは, 現在では cofiltered limit と呼ぶべきだろう。直積や pull-back などと合せ limit として統一して扱うことができる。 Dwyer と Spalinski の モデル圏の解説 [DS95] には, 分かりやすい (co)limit の解説も含まれている。

• 直積 (product)
• 引き戻し (pull-back)
• equalizer
• cofiltered limit
• limit

一方, かつて直極限 (direct limit) などと呼ばれていたものは, 現在では filtered colimit と呼ばれる。 直和や push-out なども colimit である。

• 直和 (sum) あるいは余積 (coproduct)
• push-out
• coequalizer
• filtered colimit
• colimit

Limit と colimit の 定義は universal property で与えられるのが普通である。 それを言い換えると, adjoint functor の言葉になる。

• \(\bm {X}\) を 小圏, \(\bm {C}\) を圏とする。 \(\category {Funct}(\bm {X},\bm {C})\) を, \(\bm {X}\) から \(\bm {C}\) への関手の成す圏とし \[ \Delta : \bm {C} \longrightarrow \category {Funct}(\bm {X},\bm {C}) \] を constant diagram functor とすると, \[ \lim : \category {Funct}(\bm {X},\bm {C}) \longrightarrow \bm {C} \] は \(\Delta \) の right adjoint functor である。また \[ \colim : \category {Funct}(\bm {X},\bm {C}) \longrightarrow \bm {C} \] は \(\Delta \) のleft adjoint functor である。

このことから, 次のことがすぐ分かる。

• adjoint functor の組 \[ F : \bm {C} \longleftrightarrow \bm {D} : G \] に対し, \(F\) は colimit を保ち, \(G\) は limit を保つ。

  つまり left adjoint は colimit を保ち, right adjoint は limit を保つ。

Limit を取らないで, 図式を1つの object として考えることも重要である。 これも Grothendieck のアイデアなのだろうか。 SGA4 [SGA4-172] の exposé 1 に詳しく書かれている。 ind-object と pro-object と呼ばれるものである。 ホモトピー論では, pro-object の方がよく使われる。

• ind-object と pro-object

Limit と colimit の可換性については, よく知られているのは filtered colimit と finite limit の場合である。その一般化としては, Bjerrum, Johnstone, Leinster, Sawin の [Bje+] などがある。

任意の limit と colimit で閉じている圏は, 様々な構成が自由にできて非常に便利である。 よって, モデル圏の条件の一つにもなっている。

• 空な圏 \(\emptyset \) を, object の集合 (よって morphism の集合も) が空集合である圏として定義する。このとき一意的に決まる関手 \[ \emptyset : \emptyset \longrightarrow \bm {C} \] に対し \(\lim \emptyset \) は, (もし存在すれば) \(\bm {C}\) の initial object であり, \(\colim \emptyset \) は, \(\bm {C}\) の terminal object である。

  よって small limit で閉じている圏は initial object を持ち, small colimt で閉じている圏は terminal object を持つ。

• 集合の圏は small limit と colimit で閉じている。
• 位相空間の圏は small limit と colimit で閉じている。
• Abel群の圏は small limit と colimit で閉じている。

上の最後の三つのことを確かめるには, limit と colimit の具体的な構成が必要である。普通は (co)equalizer で構成する。

• 集合の圏での limit と colimit の構成
• 位相空間の圏での limit と colimit の構成
• Abel群の圏での limit と colimit の構成

Abel群の圏, より一般に Abel圏での limit は, left exact functor であるが, 一般には exact functor ではない。 よって, その derived functor が考えられる。

• derived fucntor of limits and colimits

Limit や colimit の derived functor のホモトピー版が, Bousfield と Kan の本のタイトルにもある, ホモトピー極限である。

• homotopy limit と homotopy colimit

Colimit で閉じている圏では, 有限でない morphism の列の合成が考えられる。

• transfinite composition

これは, 例えば cofibrantly generated model category を扱う際に必要になる。

Small category を colimit で閉じた圏にする (cocompletionをとる) するためには, presheaf の圏を考えれば良い, というのが, Day と Lack の [DL07]である。

定義域の圏も値域の圏も同じ圏で enrichされている場合には, indexed (co)limit あるいは weighted (co)limit という enrichment も考慮に入れた (co)limit の一般化を考えるべきである。Kelly の [Kel82] に詳しい。

\(2\)-category での極限には様々な問題があり, 注意が必要である。Fiore の [Fio06] は, conformal field theory の基礎付けのために, \(2\)-category の limit などを考えたものである。

References

[Bje+]

Marie Bjerrum, Peter Johnstone, Tom Leinster, and William F. Sawin. Notes on commutation of limits and colimits. arXiv: 1409.7860.

[DL07]

Brian J. Day and Stephen Lack. “Limits of small functors”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.3 (2007), pp. 651–663. arXiv: math/0610439. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.10.019.

[DS95]

W. G. Dwyer and J. Spaliński. “Homotopy theories and model categories”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 73–126. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50003-1.

[Fio06]

Thomas M. Fiore. “Pseudo limits, biadjoints, and pseudo algebras: categorical foundations of conformal field theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 182.860 (2006), pp. x+171. arXiv: math/0408298.

[Kel82]

Gregory Maxwell Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Vol. 64. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. 245. isbn: 0-521-28702-2.

[SGA4-172]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. xix+525.