Limit と colimit

圏と関手の言葉を用いると, 様々な概念が統一的に扱えるようになる。その良い例が, limit と colimit である。

かつて, 逆極限 (inverse limit) とか射影的極限 (projective limit) と呼ばれていたものは, 現在では cofiltered limit と呼ぶべきだろう。 定義域の small category \(I\) が cofiltered category である functor \(F:I\to \bm {C}\) の limit が cofiltered limit である。 直積や pull-back などと合せ limit として統一して扱うことができる。 Dwyer と Spalinski の モデル圏の解説 [DS95] には, 分かりやすい (co)limit の解説も含まれている。

• 直積 (product)
• 引き戻し (pull-back)
• equalizer
• cofiltered limit
• limit

一方, かつて直極限 (direct limit) などと呼ばれていたものは, 定義域の small category \(I\) が filtered category である functor \(F:I\to \bm {C}\) の colimit であり, 現在では filtered colimit と呼ばれる。 直和や push-out なども colimit である。

• 直和 (sum) あるいは余積 (coproduct)
• push-out
• coequalizer
• filtered colimit
• colimit

Mac Lane の本 [Mac98] の Chapter IX section 1 に書かれているように, filtered と cofiltered という用語の使い方は, 人によって異なる。Mac Lane の本の用語に従っておくのが良いと思う。

同じように, 接頭辞 “co” の使用で人によって異なるものに cofinal という用語がある。 元々 順序集合で用いられていた用語であるが, そちらでは「共通の」という意味で使われている。 ポセットを small category に一般化したときにその用語を流用し cofinal subcategory という概念が導入された。Kashiwara と Schapira の [KS06] の §2.5 のように, より一般に cofinal functor という概念が使われることもある。 しかしながら, category theory では, “co” は「矢印の向きを逆にしたもの」という意味で使われる。 それで, Mac Lane は [Mac98] の Chapter IX section 3 で, small category に一般化したものについては, “co” を取って final subcategory や final functor と呼ぶことを提案している。 その双対概念は initial functor である。

• final functor
• initial functor

この final functor の概念は, limit や colimit の定義域の small category をより小さなものに取り替えるときに有用である。これについては, Kashiwara と Schapira の §2.5 にまとめられているので, ここを見るのがよいと思う。

Limit と colimit の 定義は universal property で与えられるのが普通である。 それを言い換えると, adjoint functor の言葉になる。

• \(I\) を small category, \(\bm {C}\) を圏とする。 \(\category {Funct}(I,\bm {C})\) を, \(I\) から \(\bm {C}\) への関手と自然変換の成す圏とし

  \[ \Delta : \bm {C} \longrightarrow \category {Funct}(I,\bm {C}) \]
  を constant diagram functor とすると,
  \[ \lim : \category {Funct}(I,\bm {C}) \longrightarrow \bm {C} \]
  は \(\Delta \) の right adjoint functor である。また
  \[ \colim : \category {Funct}(I,\bm {C}) \longrightarrow \bm {C} \]
  は \(\Delta \) のleft adjoint functor である。

このことから, 次のことがすぐ分かる。

• adjoint functor の組

  \[ F : \bm {C} \longleftrightarrow \bm {D} : G \]
  に対し, \(F\) は colimit を保ち, \(G\) は limit を保つ。

  つまり left adjoint は colimit を保ち, right adjoint は limit を保つ。

Limit を取らないで, 図式を1つの object として考えることも重要である。 これも Grothendieck のアイデアなのだろうか。 SGA4 [SGA4-172] の exposé 1 に詳しく書かれている。 ind-object と pro-object と呼ばれるものである。 ホモトピー論では, pro-object の方がよく使われる。

• ind-object と pro-object

Limit と colimit の可換性については, よく知られているのは filtered colimit と finite limit の場合である。Colimit と colimit, limit と limit も可換である。これらについては, Mac Lane の本 [Mac98] の Chapter IX section 2 に書かれている。 その一般化としては, Bjerrum, Johnstone, Leinster, Sawin の [Bje+15] などがある。

任意の limit と colimit で閉じている圏は, 様々な構成が自由にできて非常に便利である。 よって, モデル圏の条件の一つにもなっている。

• 空な圏 \(\emptyset \) を, object の集合 (よって morphism の集合も) が空集合である圏として定義する。このとき一意的に決まる関手

  \[ \emptyset : \emptyset \longrightarrow \bm {C} \]
  に対し \(\lim \emptyset \) は, (もし存在すれば) \(\bm {C}\) の initial object であり, \(\colim \emptyset \) は, \(\bm {C}\) の terminal object である。

  よって small limit で閉じている圏は initial object を持ち, small colimt で閉じている圏は terminal object を持つ。

• 集合の圏は small limit と colimit で閉じている。
• 位相空間の圏は small limit と colimit で閉じている。
• Abel群の圏は small limit と colimit で閉じている。

上の最後の三つのことを確かめるには, limit と colimit の具体的な構成が必要である。普通は (co)equalizer で構成する。

• 集合の圏での limit と colimit の構成
• 位相空間の圏での limit と colimit の構成
• Abel群の圏での limit と colimit の構成

Abel群の圏, より一般に Abel圏での limit は, left exact functor であるが, 一般には exact functor ではない。 よって, その derived functor が考えられる。

• derived fucntor of limits and colimits

Limit や colimit の derived functor のホモトピー版が, Bousfield と Kan の本のタイトルにもある, ホモトピー極限である。

• homotopy limit と homotopy colimit

Colimit で閉じている圏では, 有限でない morphism の列の合成が考えられる。

• transfinite composition

これは, 例えば cofibrantly generated model category を扱う際に必要になる。

Small category を colimit で閉じた圏にする (cocompletionをとる) するためには, presheaf の圏を考えれば良い, というのが, Day と Lack の [DL07]である。

定義域の圏も値域の圏も同じ圏で enrichされている場合には, indexed (co)limit あるいは weighted (co)limit という enrichment も考慮に入れた (co)limit の一般化を考えるべきである。Kelly の [Kel82] に詳しい。

\(2\)-category での極限には様々な問題があり, 注意が必要である。Fiore の [Fio06] は, conformal field theory の基礎付けのために, \(2\)-category の limit などを考えたものである。

Double category での limit については, Grandis と Pare の [GP99] で調べられている。 その解説として, \(n\)-Category Café に user’s guide があるので, まずはこれを見てみるのがよいかもしれない。

References

[Bje+15]

Marie Bjerrum, Peter Johnstone, Tom Leinster, and William F. Sawin. “Notes on commutation of limits and colimits”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 15, 527–532. arXiv: 1409.7860.

[DL07]

Brian J. Day and Stephen Lack. “Limits of small functors”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.3 (2007), pp. 651–663. arXiv: math/0610439. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.10.019.

[DS95]

W. G. Dwyer and J. Spaliński. “Homotopy theories and model categories”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 73–126. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50003-1.

[Fio06]

Thomas M. Fiore. “Pseudo limits, biadjoints, and pseudo algebras: categorical foundations of conformal field theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 182.860 (2006), pp. x+171. arXiv: math/0408298.

[GP99]

Marco Grandis and Robert Pare. “Limits in double categories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 40.3 (1999), pp. 162–220. url: http://www.numdam.org/item/CTGDC_1999__40_3_162_0/.

[Kel82]

Gregory Maxwell Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Vol. 64. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. 245. isbn: 0-521-28702-2.

[KS06]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves. Vol. 332. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. x+497. isbn: 978-3-540-27949-5; 3-540-27949-0. url: https://doi.org/10.1007/3-540-27950-4.

[Mac98]

Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician. Second. Vol. 5. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+314. isbn: 0-387-98403-8.

[SGA4-172]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. xix+525.