Categories with Additional Structures

圏に構造を付加したものの中でよく使うのは, monoidal category やそれにより enrich された category だろう。

• monoidal category
• enriched category

表現論などで使われる monoidal category には, object の dual が定義されるものが多い。

• rigid monoidal category あるいは autonomous category

一方, morphism の dual, つまり morphism の向きを逆にする操作を持つものとして, dagger category という構造がある。

• dagger category

概要を掴むのには, Karvonen の thesis [Kar] の Introduction を読むのが良い。それによると, categorical quantum mechanics や quantum computing などで登場したようである。 ただし, 他にもホモロジー代数 や operator algebra など, 様々な分野で様々な名前で登場しているようである。

Karvonen によると, dagger category という言葉は, Selinger の [Sel07] で登場したのが最初のようである。

Heunen と Karvonen [HK16] により, dagger category 上の monad が調べられている。 Bicategory版は Poklewski-Koziell の [Pok] などで調べられている。

Involution を持つものとしては, supercategory という構造もある。 Kang, Kashiwara, Oh の [KKO13] や Murfet の [Mur18] など。 Benini, Schenkel, Woike の [BSW19] では involutive category と呼ばれている。彼等は, Beggs と Majid の [BM09], Egger の [Egg11], Jacobs の [Jac12] を参照している。

• supercategory あるいは involutive category

圏に高次の射を付加したものも, 最近では popular である。

• 高次の圏

References

[BM09]

E. J. Beggs and S. Majid. “Bar categories and star operations”. In: Algebr. Represent. Theory 12.2-5 (2009), pp. 103–152. arXiv: math/ 0701008. url: https://doi.org/10.1007/s10468-009-9141-x.

[BSW19]

Marco Benini, Alexander Schenkel, and Lukas Woike. “Involutive categories, colored \(*\)-operads and quantum field theory”. In: Theory Appl. Categ. 34 (2019), Paper No. 2, 13–57. arXiv: 1802.09555.

[Egg11]

J. M. Egger. “On involutive monoidal categories”. In: Theory Appl. Categ. 25 (2011), No. 14, 368–393.

[HK16]

Chris Heunen and Martti Karvonen. “Monads on dagger categories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 35, 1016–1043. arXiv: 1602.04324.

[Jac12]

Bart Jacobs. “Involutive categories and monoids, with a GNS-correspondence”. In: Found. Phys. 42.7 (2012), pp. 874–895. arXiv: 1003.4552. url: https://doi.org/10.1007/s10701-011-9595-7.

[Kar]

Martti Karvonen. The Way of the Dagger. arXiv: 1904.10805.

[KKO13]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Se-jin Oh. “Supercategorification of quantum Kac-Moody algebras”. In: Adv. Math. 242 (2013), pp. 116–162. arXiv: 1206.5933. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.04.008.

[Mur18]

Daniel Murfet. “The cut operation on matrix factorisations”. In: J. Pure Appl. Algebra 222.7 (2018), pp. 1911–1955. arXiv: 1402.4541. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.08.014.

[Pok]

Rowan Poklewski-Koziell. A note on Frobenius-Eilenberg-Moore objects in dagger 2-categories. arXiv: 2101.05210.

[Sel07]

Peter Selinger. “Dagger compact closed categories and completely positive maps”. In: Electronic Notes in Theoretical computer science 170 (2007), pp. 139–163.