圏に構造を付加したものの中でよく使うのは, monoidal category やそれにより enrich された category
だろう。
表現論などで使われる monoidal category には, object の dual が定義されるものが多い。
一方, morphism の dual, つまり morphism の向きを逆にする操作を持つものとして, dagger category
という構造がある。
Monoidal structure を持たない category での duality については, category with duality
という構造がある。Schlichting により [Sch10] で algebraic \(K\)-theory のために導入された。
Involution を持つものとしては, supercategory という構造もある。
群や位相空間などは, 集合の category への forgetful functor を持つが, より一般に “forgetful functor” を持つ
category として concrete category の概念がある。
有限 poset の rank function の類似を持つものは, 様々な分野に登場する。
圏に高次の射を付加したものも, 最近では popular である。
References
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[Sch10]
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Marco Schlichting. “Hermitian
\(K\)-theory of exact categories”. In: J. K-Theory 5.1 (2010), pp. 105–165.
url: http://dx.doi.org/10.1017/is009010017jkt075.
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