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圏と関手の理論は, Eilenberg と Mac Lane により homology の性質を述べるために導入されたものであり,
元々複雑な構造を簡潔に表すための言語としての役割が大きかった。 特定の数学的対象全体を圏としてまとめて扱うと,
様々な構成を関手として表すことができるわけである。 それにより, Eilenberg と Mac Lane は, homology
の基本的な性質を簡潔に記述することに成功した。
現代数学が急速に発展し複雑になるに従って, そのような圏と関手の言葉が, 様々な分野で有用であることが分かってきた。 その起源から,
代数的トポロジーや ホモロジー代数に適した言語であるのは当然であるが, 代数幾何学の再構築のために Grothendieck
により使われたことも有名である。
その過程で topos の概念が生れ, 圏論自体も大きく発展したので, 圏論の応用というもの変であるが。
その topos が 数理論理学で重要な役割を果すようになったのは, 驚くべきことだと思う。 もっとも, Marquis と Reyes が
[MR12] で書いているように, category theory の 数理論理学への応用は, Lawvere の thesis [Law63; Law04]
から始まったと言うべきだろう。
また, 代数的あるいは幾何学的対象に対し圏を対応させることも, よく行なわれる。例えば, 群に対しその表現の成す圏とか, scheme に対し
quasi-coherent sheaf の成す圏とか, その derived category とか。 そのような圏から元の対象を復元できることもあり,
そのような定理を reconstruction theorem と呼んだりする。
その中で, 微分積分学的, そして 微分幾何学的構造が現れるのは興味深い。
最近では, 確率論でも使われるようになってきた。 [GF] など。
もちろん, 数学以外の様々な分野でも使われるようになっている。
最近 applied category theory という言葉が使われるのは, より実生活に近い分野への応用である。David Spivak ら
[SSV20] や Baez ら [BCV22] は, open system を記述するのに使うことを考えている。 その open system とは,
外界との相互作用がある系のことらしい。
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