Grothendieck Construction

Small category \(I\) から small category の category への functor \[ F : I \longrightarrow \category {Cat}, \] つまり \(I\) で index の付いた small category の族, から一つの category \(\mathrm {Gr}(F)\) を 作る操作がある。Grothendieck construction と呼ばれる構成である。 \(F(x)\) を \(I\) の object \(x\) に関し合せたようなものなので, \(\int _{I}F\) と書かれることもある。

より卑近な例としては, 例えば群の半直積がある。 他にも群の作用する圏の orbit category の構成などで, Grothendieck construction と意識されずに使われている。 このような例については, [Tam] に書いた。

その構成は, (co)lax functor に対してもそのまま使える。むしろ, Grothendieck construction の本質を知るためには, (co)lax functor に対する構成を理解するべきだろう。 Grothendieck construction と (co)lax functor について書いてある文献としては, 例えば Goerss と Jardine の本 [GJ09] がある。 その元になっていると思われるのは Thomason の [Tho79] なので, そちらも目を通すべきだろう。

• colax functor \(F : I \to \category {Cat}\) に対する Grothendieck construction \(\mathrm {Gr}(F)\)
• Grothendieck construction は colax functor の category から small category の category への functor \[ \mathrm {Gr} : \category {Colax}(I,\category {Cat}) \rarrow {} \category {Cat} \] を与える。
• \(\mathrm {Gr}\) は constant diagram functor \[ \Delta : \category {Cat} \rarrow {} \category {Colax}(I,\category {Cat}) \] の left adjoint

この \(\mathrm {Gr}\) が left adjoint であるという事実は, Thomason の論文で述べられているが, そこには元々は J. Gray の結果 [Gra69] であると書いてある。

Colax functor \(F : I \to \category {Cat}\) の Grothendieck construction \(\mathrm {Gr}(F)\) は functor \[ \pi _F : \mathrm {Gr}(F) \longrightarrow I \] を持つ。この functor の comma category \(\pi _F\downarrow i\) を考えると (strictな) functor \[ \pi _F\downarrow (-) : I \longrightarrow \category {Cat} \] を得る。これは \(F\) の strict 化とも言えるもので, Grothendieck construction の分類空間が \(I\) の各object \(x\) に対する \(F(x)\) の分類空間の ホモトピー余極限であるという, 有名なThomason の結果 [Tho79] の証明でも使われている。

• Grothendieck construction と homotopy colimit の関係

これについては, まず Dwyer の [DH01] を読んでから Thomason の論文を読むのが良いと思う。

射影 \(\pi _F : \mathrm {Gr}(F)\to I\) に対しては, その section の成す圏も考えられている。\(I\) が群の場合は, 本質的には, Drinfel\('\)d らにより [Dri+10] で使われている equivariantization と呼ばれる構成と一致する。 より一般の小圏の場合は, Cirici の [Cir15] で考えられている。

• Grothendieck construction の section の成す圏

Grothendieck construction の拡張もいくつか考えられている。Jardine の [Jar10] では, 定義域の圏が groupoid で enrich されている場合について述べられている。

より一般の monoidal category で enrich された場合については, [Tam] に考えたことをまとめた。それは, enrich している monoidal category が \(k\)-module の圏のような, Cartesian から程遠い場合を想定して考えたものだが, Bearsley と Wong [BW19] は, semi-Cartesian monoidal category で enrich した場合を考えている。私の構成との比較も書かれている。

Dwyer と Kan の [DK80] では, two-sided Grothendieck construction や transfunctor に対する Grothendieck construction が定義され, 用いられている。Grothendieck construction の functoriality や homotopy 不変性などについても述べられている。Meyer [Mey86] は internal category の場合について, two-sided Grothendieck construction を考えている。

Model category の diagram に対する Grothendieck construction は Harpaz と Prasma の [HP15] で調べられている。

Monoidal 版は, Moeller と Vasilakopoulou の [MV20] で考えられている。

Bicategory や \(2\)-category の図式に対する Grothendieck construction は, [CCG11; Ceg11] で考えられている。もっと一般的な設定で考えたものとして, Buckley の [Buc14] や Bakovic の [Bakb; Baka] がある。 より古くは, Quillen により monoidal category の category への作用からの category の構成として現れている。文献としては, Grayson の [Gra76] を挙げるべきだろう。最近では, Randall-Williams と Wahl の[RW17] や Soulié [Sou19] で使われている。

Raptis の [Rap14] では, topological category の場合が使われている。

Topological category は \((\infty ,1)\)-category の一つのモデルであるが, quasicategory などのより一般的な \((\infty ,1)\)-category のモデルでも, Grothendieck construction は考えられている。 例えば, Lurie の [Lur09] の §3.2 や Mazel-Gee の [Maz; Maz19], そして Sharma の [Shaa; Shab] など。 Dyckerhoff の [Dyc21] でも使われている。 Rasekh の [Ras] の §0.1 に \((\infty ,1)\)-category での fibration (fibered category) と共に歴史的な視点で簡単にまとめたものがある。

Lurie の Grothendieck construction に対する Thomason の homotopy colimit theorem の類似については, Sharma の [Shab] で得られている。

\((\infty ,2)\)-category の場合も, Abellán Garcia と Stern の [GS] で考えられている。

Institution という computer science の理論で使われる category にいくつかの構造を付加したものへの一般化を考えているのは, Diaconescu [Dia02] である。

References

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[Bakb]

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