Semigroup

Semigroup という言葉は, 文献によっては, monoid と同じ意味で使われることもあるのでややこしい。ここでは monoid よりさらに条件を弱め, 単位元の存在を仮定しないものを semigroup と呼ぶことにする。

一般的な解説としては, Cain の lecture note [Cai] がある。

単位元はなくても「逆元」は定義できる。全ての元が「逆元」を持つ semigroup を inverse semigroup という。Vershinin の [Ver09] によると, 最初に考えたのは V.V. Wagner という人 (1952年ロシア語) らしい。 当然, 群に近い性質を持つことが期待される。

• semigroup における逆元
• inverse semigroup

Inverse semigroup については, Resende の [Res07] の §2.3 に簡単にまとめられている。そこでは, inverse semigroup については, [Law98] と [Pat99] が参考文献として挙げられている。 Paterson の本によると, inverse semigroup は \(C^*\)-algebra にとって groupoid と並んで重要なもののようである。 より一般の semigroup の \(C^*\)-algebra についても Li [Li] で考えている。

• semigroupの \(C^*\)-algebra

このように, semigroup は関数解析的な視点からよく研究されている。そのため, quantum group の semigroup 版も関数解析的に定義されている。

• compact quantum semigroup

Jones と Lawson [JL] によると, Cuntz-Krieger algebra や Leavitt path algebra などに関連して, graph inverse semigroup というものも考えられている。

• graph inverse semigroup

Lawson の [Law11] によると, Wagner により考えられた generalized heap という代数的構造は, inverse semigroup を考えるために重要なもののようである。彼は, それにより inverse semigroup のMorita同値を定義している。

• inverse semigroup の Morita同値

Schwab は, [Sch04a; Sch04b; Sch09; SV] で, small category の Euler標数との関係を調べている。

Inverse semigroup に対して idempotent を object として small category を構成することは, 他にも Loganathan [Log81] により考えられている。 その動機は, Lausch による inverse semigroup の cohomology を small category の cohomology として表すことだった。その後, Loganathan の category を用いて inverse semigroup の classifying topos が定義されている。 これについては, Kudryavtseva と Škraba の [KŠ] の Introduction で挙げられている文献を見るとよい。

• inverse semigroup の cohomology
• inverse semigroup の Loganathan category
• inverse semigroup の classifying topos

有限群の基本的な例が対称群であるように, inverse semigroup の基本は, partial permutation の成す inverse semigroup (symmetric inverse monoid) である。

• partial permutation
• 有限集合上のsymmetric inverse monoid

対称群と関連の深い群として braid群 があるが, 対応して inverse braid monoid も存在する。Easdown と Lavers の [EL04] で構成された。Vershinin の [Ver09] で braid 群の様々な性質の類似が成り立つことが示されている。

• inverse braid monoid

Inverse braid monoid も含めた inverse monoid の構成については, category theory 的なアプローチ [KM08] もある。

Inverse braid monoid 以外にも, トポロジーに関連した semigroup として (left regular) band というものがある。

• band

Semigroup からは semigroup ring が作られる。

• semigroup ring

Semigroup や monoid の 表現論というものも研究されているようである。

• semigroup や monoid の表現論

Cayley graph も定義される。Knauer と Knauer の [KK] など。

• semigroup の Cayley graph

Semigroup からは, Green [Gre51] の方法により preordered set が定義される。

• semigroup の preordered set

2つの積を持ち, それぞれがお互いに準同型になっているものを double semigroup と言うようである。

• double semigroup

古典的な代数的トポロジーを勉強したことがある人は, この条件を見たとき Hilton-Eckmann argument を思い出すだろう。つまり, monoid になっている2つの積を持ち, お互いに準同型になっているなら, その2つの積は一致し可換になる, という事実である。 ここで, 単位元があるというのが重要で, 逆に double semigroup を考える際には, Bremner と Madariaga [BM] のように, 単位元を持たないものを考えないと意味がない。

部分集合に値を持つ, multisemigroup という構造を考えている人 [KM] もいる。Mazurchuk と Miemietz [MM14] は, additive \(2\)-category の構造を考えるときに現われる, と言っている。

• multisemigroup

Kudryavtsova と Mazurchuk [KM] は Viro の [Vir] を参照している。これは, tropical geometry に関するものである。

References

[BM]

Murray Bremner and Sara Madariaga. Permutation of elements in double semigroups. arXiv: 1405.2889.

[Cai]

Alan J. Cain. Nine Chapters on the Semigroup Art. url: http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~alanc/pub/c_semigroups/index.html.

[EL04]

D. Easdown and T. G. Lavers. “The inverse braid monoid”. In: Adv. Math. 186.2 (2004), pp. 438–455. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.07.014.

[Gre51]

J. A. Green. “On the structure of semigroups”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 163–172. url: https://doi.org/10.2307/1969317.

[JL]

David G. Jones and Mark V. Lawson. Graph inverse semigroups: their characterization and completion. arXiv: 1106.3644.

[KK]

Kolja Knauer and Ulrich Knauer. On planar right groups. arXiv: 1309.5236.

[KM]

Ganna Kudryavtseva and Volodymyr Mazorchuk. On multisemigroups. arXiv: 1203.6224.

[KM08]

Ganna Kudryavtseva and Volodymyr Mazorchuk. “Partialization of categories and inverse braid-permutation monoids”. In: Internat. J. Algebra Comput. 18.6 (2008), pp. 989–1017. arXiv: math/0610730. url: https://doi.org/10.1142/S0218196708004731.

[KŠ]

Ganna Kudryavtseva and Primož Škraba. The principal bundles over an inverse semigroup. arXiv: 1503.08560.

[Law11]

M. V. Lawson. “Generalized heaps, inverse semigroups and Morita equivalence”. In: Algebra Universalis 66.4 (2011), pp. 317–330. arXiv: 1104.2458. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00012-011-0162-z.

[Law98]

Mark V. Lawson. Inverse semigroups. The theory of partial symmetries. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1998, pp. xiv+411. isbn: 981-02-3316-7. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812816689.

[Li]

Xin Li. Semigroup \(C^*\)-algebras and amenability of semigroups. arXiv: 1105.5539.

[Log81]

M. Loganathan. “Cohomology of inverse semigroups”. In: J. Algebra 70.2 (1981), pp. 375–393. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(81)90225-8.

[MM14]

Volodymyr Mazorchuk and Vanessa Miemietz. “Additive versus abelian 2-representations of fiat 2-categories”. In: Mosc. Math. J. 14.3 (2014), pp. 595–615, 642. arXiv: 1112.4949.

[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[Res07]

Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math/0412478. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.

[Sch04a]

Emil Daniel Schwab. “Möbius categories as reduced standard division categories of combinatorial inverse monoids”. In: Semigroup Forum 69.1 (2004), pp. 30–40. url: https://doi.org/10.1007/s00233-004-0112-6.

[Sch04b]

Emil Daniel Schwab. “The Möbius category of some combinatorial inverse semigroups”. In: Semigroup Forum 69.1 (2004), pp. 41–50. url: https://doi.org/10.1007/s00233-004-0113-5.

[Sch09]

Emil Daniel Schwab. “The Möbius category of a combinatorial inverse monoid with zero”. In: Ann. Sci. Math. Québec 33.1 (2009), pp. 93–113.

[SV]

Emil Daniel Schwab and Juan Villarreal. The Computation of the Möbius Function of a Möbius Category. arXiv: 1210.7697.

[Ver09]

V. V. Vershinin. “On the inverse braid monoid”. In: Topology Appl. 156.6 (2009), pp. 1153–1166. arXiv: 0704.3002. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.10.007.

[Vir]

Oleg Viro. Hyperfields for Tropical Geometry I. Hyperfields and dequantization. arXiv: 1006.3034.