Tannaka-Krein duality

Tannaka-Krein duality とは, 大雑把に言えば, ある代数的構造が, その 表現の成す圏から reconstruct できる現象のことである。 元々はcompact群に関する定理だったが, それを様々な代数的構造に一般化する試みがあって面白い。

Joyal と Street の [JS91] は, Pontrjagin duality から書いてあるので, それを読んでみると概要がつかめるかもしれない。歴史的経緯, そして様々な一般化については, Hai の [Hái08] の Introduction が詳しい。それによると, Tannaka-Krein dualiy は次の二つの部分からなる。

• reconstruction theorem
• representation theorem

前者は, 群などの代数的対象をその表現の圏から reconstruct する step で, 後者がその表現の圏と元の圏が同値であることを示すstepである。Hai の [Hái08] に書かれていたものも含め, 以下のような一般化がある。

• Saavedra の [Saa72] と Deligne の [Del90]
• Woronowicz の [Wor88] と Joyal と Street の [JS91] (compact quantum group)
• Lyubashenko の [Lyu97; Lyu99] (squared coalgebra)
• McCrudden の [McC00a; McC00b; McC02] (coalgebroid)
• Aminiの [Ami; Ami10] (compact groupoid)
• Hai の [Hái08] (Hopf algebroid)
• weak Hopf algebra上のcomodule のcategoryのreconstruction ([Pfe09; McC])
• Doplicher-Robertsのreconstruction theorem
• monad (bimonad) を用いた Szlachanyi の [Szl03; Szl]
• crossed Hopf group algebra についての Zuninoの [Zun]
• differential algebraic group に対する [Ovc08; Ovc09]
• model theory を用いた Kamensky のアプローチ [Kam]
• closed symmetric monoidal category の comonoid object に対する Schäppi の [Sch]
• Pridham [Pri] の dg category への一般化
• Lurie の [Lur]

最後の Lurie のもの, そして この MathOverflow の質問に対する Ben-Zvi の解答を見ると, Tannaka-Krein duality は, quasicoherent sheaf の category から, stack を復元するもの, とみなすべきのようである。 このことから, ある scheme 上の quasicoherent sheaf の category の一般化である commutative \(2\)-ring という構造を考え, その \(1\)-oppositeとして 2-affine scheme を定義しているのは, Chirvasitu と Johnson-Freyd [CJ] である。 更に, \((\infty ,1)\)-category版 としては, Iwanari の [Iwac; Iwaa; Iwab] や Wallbridge の [Wal] がある。Wallbridge は, commutative ring spectrum上で考えている。

Tannaka-Krein duality の reconstruction の中心となるのは underlying module を対応させる functor に対応するもの, すなわち fiber functor である。

• fiber functor

Tannaka-Krein duality の一般化の中で, この fiber functor をより一般の monoidal category に値を持つものに一般化することも考えられている。 その最初は, Hayashi の [Hay] だろうか。その一般化が, Hai の [Hái08] である。これらでは, ある algebra \(R\) 上の \(R\)-\(R\)-bimodule を object とする monoidal category に値を持つ“fiber functor”が用いられている。Pinzari と Roberts [PR12] は, \(C^*\)-category の世界で同様のことを考えている。

Hayashi や Hai の bimoduleに値を持つfunctorを, Pfeifferは [Pfe09] で short forgetful functor と呼んでいる。それに更に \(k\)-module の category への forgetful functor を合成したものを long forgetful functor と呼んでいる。

Chikhladze [Chi12] は, Hai の bialgebroid や McCurdyの weak Hopf algebra の reconstruction に現れる fiber functor が, separable Frobenius functor から得られることに着目し, separable Frobenius functor に対する reconstruction theorem を示している。

Daenzer [Dae13] は, metric の情報も入れたものを考えている。

Szyld の thesis [Szy]で述べられているように, 圏から群を復元するという点で Galois categoryの理論と良く似ている。そこで, 統一した理論を構築しようという試みがあっても不思議ではない。Szlydのthesis はその試みであるが, その中で他に Janelidze と Street の [JS99] や Rochardのthesisが挙げられている。

• Galois category

References

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