表現の大域的構造

表現全体を考えてその構造を調べる, というのは, 昔から行なわれてきたことである。 その典型的な例として, 表現環がある。 Abel 群の場合には Pontrjagin duality がある。

• 群\(G\)の表現環 \(R(G)\)
• Pontrjagin duality

「表現全体」を考える際に, 圏として考えるのは自然である。Compact群の (連続) 表現の成す圏は, monoidal category になる。 その圏の構造を詳しく調べると, そこから元の群が 再構成できる。それが compact 群の reconstruction theorem である。

• Tannaka-Krein duality
• Doplicher-Robertsのreconstruction theorem [DR89]

量子群に対しても Tannaka-Krein duality や Doplicher-Roberts の reconstruction を一般化しようというのは, 自然なアイデアである。まずは Woronowicz の [Wor88] がある。これは, compact quantum group に対する Tannaka-Krein duality の一般化である。その一般化を考えているのが Pinzari と Roberts の [PR08] である。

関連した概念として Tannaka category がある。

• Tannakian category [Saa72; Del90]
• Tannakian category の quotient [Mil07]
• 表現論などで使われる monoidal category

表現の圏の性質を抽象化することにより, 群などの “表現される対象” の一般化を考えることも重要である。代表的なものとして, fusion category などがある。Deligne [Del07] の考えた, 対称群の表現の成す category の一般化もある。

• fusion category
• 対称群の表現

離散群の Lie 群への表現全体の moduli space を考えている人もいる。Surface group, つまり Riemann 面の基本群の表現全体の成す空間を考えているのが, Bradlow と Garcia-Prada と Gothen の [BGG] である。 ホモトピー群を計算している。 Analytic torsion を表現の成す空間上の関数とみなすこともできるらしい。

代数群の場合, 代数群に関係した幾何学的対象の上の sheaf (sheaf の chain complex) と表現の関係を考えることもよく行なわれている。 表現論の概念に対応する sheaf の概念を, その “geometric version” とい う。Vilonen の [Vil00] のタイトルが “Geometric Methods in Representation Theory” となっているのはそういう意味である。この手の話としては, geometric Langlands correspondence が面白そうである。

References

[BGG]

Steven B. Bradlow, Oscar Garcia-Prada, and Peter B. Gothen. Homotopy groups of moduli spaces of representations. arXiv: math/0506444.

[Del07]

P. Deligne. “La catégorie des représentations du groupe symétrique \(S_{t}\), lorsque \(t\) n’est pas un entier naturel”. In: Algebraic groups and homogeneous spaces. Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. Mumbai: Tata Inst. Fund. Res., 2007, pp. 209–273.

[Del90]

P. Deligne. “Catégories tannakiennes”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. II. Vol. 87. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1990, pp. 111–195.

[DR89]

Sergio Doplicher and John E. Roberts. “A new duality theory for compact groups”. In: Invent. Math. 98.1 (1989), pp. 157–218. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388849.

[Mil07]

J. S. Milne. “Quotients of Tannakian categories”. In: Theory Appl. Categ. 18 (2007), No. 21, 654–664. arXiv: math/0508479.

[PR08]

Claudia Pinzari and John E. Roberts. “A duality theorem for ergodic actions of compact quantum groups on \(C^*\)-algebras”. In: Comm. Math. Phys. 277.2 (2008), pp. 385–421. arXiv: math/0607188. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-007-0371-7.

[Saa72]

Neantro Saavedra Rivano. Catégories Tannakiennes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 265. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. ii+418.

[Vil00]

Kari Vilonen. “Geometric methods in representation theory”. In: Representation theory of Lie groups (Park City, UT, 1998). Vol. 8. IAS/Park City Math. Ser. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, pp. 241–290. arXiv: math/0410032.

[Wor88]

S. L. Woronowicz. “Tannaka-Kreı̆n duality for compact matrix pseudogroups. Twisted \(\SU (N)\) groups”. In: Invent. Math. 93.1 (1988), pp. 35–76. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01393687.