Homotopy Theory of Homotopy Theories

ここで言う “homotopy theory” は, “homotopy category を取る操作” が定義されている圏という意味である。例えば, model category の構造を持つ圏に対しては homotopy category が定義されるが, 他にも色々ある。例えば, (pretriangulated) dg category などの triangulated category の enhancement として用いられる category や \((\infty ,1)\)-category などもそのようなものである。

Model category \(\bm{A}\) に対しては, もちろん weak equivalence を invert することにより homotopy category を構成することができるが, 一度 simplicial category を経由して, simplicial set の \(\pi _0\) を用いて定義することもできる。その方法を考えたのは, Dwyer と Kan [DK80b; DK80a] である。

• simplicial localization

Bergner の論文 [Ber07] のタイトルにもあるように, この意味で simplicial category の category の model structure を調べることは, “homotopy theory of homotopy theory” と呼ぶことができる。

この simplicial category は, 最近人気の \((\infty ,1)\)-category のモデルの1つである。上記の Dwyer-Kan の仕事は, model category の homotopy category を取る操作をするときは, \((\infty ,1)\)-cateogry を経由する方法があると言っているわけである。

• \((\infty ,1)\)-category

\((\infty ,1)\)-category のモデルは simplicial category 以外にも Segal category, complete Segal space, topological category, quasicategory など色々あるが, これらは model category を成し, その homotopy category が全て同値であることが知られている。

兎に角, これらの成す model category が, homotopy theory of homotopy theories のモデルの一つである。全体がまた model category の構造を持つので, 一般の model category で用いられる technique を適用することができる。

例えば, model category の diagram が与えられたとき, それを simplicial category の diagram や quasicategory の diagram に翻訳すれば, homotopy limit や homotopy colimit などの操作で新しい simplicial category や quasicategory を作ることができる。 例えば, Bergner の [Ber11; Ber12; Ber14] などがある。 ホモトピー論のモデルとなる圏の図式を考え, そこから新しくホモトピー論のモデルとなる圏を作る操作で, 非常にスケールの大きな話である。

より一般に, weak equivalence の class が与えられるだけでも simplicial localization は作れるので, Barwick と Kan [BK12] は, weak equivalence の subcategory が指定された category を relative category と呼んで, relative category の category に model structure を定義している。

• relative category

Relative category の category も homotopy theory of homotopy theory のモデルである。

References

[Ber07]

Julia E. Bergner. “Three models for the homotopy theory of homotopy theories”. In: Topology 46.4 (2007), pp. 397–436. arXiv: math/0504334. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2007.03.002.

[Ber11]

Julia E. Bergner. “Homotopy fiber products of homotopy theories”. In: Israel J. Math. 185 (2011), pp. 389–411. arXiv: 0811.3175. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-011-0116-3.

[Ber12]

Julia E. Bergner. “Homotopy limits of model categories and more general homotopy theories”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 44.2 (2012), pp. 311–322. arXiv: 1010.0717. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdr095.

[Ber14]

Julia E. Bergner. “Homotopy colimits of model categories”. In: An alpine expedition through algebraic topology. Vol. 617. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 31–37. arXiv: 1212.4541. url: https://doi.org/10.1090/conm/617/12304.

[BK12]

C. Barwick and D. M. Kan. “Relative categories: another model for the homotopy theory of homotopy theories”. In: Indag. Math. (N.S.) 23.1-2 (2012), pp. 42–68. arXiv: 1011.1691. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.indag.2011.10.002.

[DK80a]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Calculating simplicial localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.1 (1980), pp. 17–35. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90113-9.

[DK80b]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Simplicial localizations of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 17.3 (1980), pp. 267–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90049-3.