C∗-category とその変種

\(C^*\)-category は, Ghez と Lima と Roberts により [GLR85] で定義された。最近の文献としては, Mitchener の [Mit02a] がある。 \(C^{*}\)-algebra の many-objectification とみなすのが最も分かり易い, と思う。

• \(C^*\)-algebra は, object \(1\)つの \(C^*\)-category である。

\(C^*\)-category の object に対しては, conjugation や dimension などを考えることができる。Longo と Roberts の [LR97] を見るとよい。

Mitchener は, [Mit02b; Mit04; Mit] で, \(C^*\)-algebra の \(KK\)-theory を \(C^*\)-category の \(KK\)-theory に拡張した。 [Mit] では, symmetric spectrum として, spectrum level で構成している。

• \(C^*\)-category の \(KK\)-theory spectrum

\(C^*\)-category の category の model structure としては, Dell’Ambrogio がいくつか考えている。まず, [Del] では, unitary equivalence を weak equivalence とするものを, そして Tabuada との共著 [DT] では, Morita同値を weak equivalence とするものを考えている。

• \(C^*\)-category の unitary equivalence
• \(C^*\)-category の Morita equivalence

関連した概念として以下のようなものがある。

• \(W^*\)-category または von Neumann category
• \(C^*\)-category の bundle [Vas07; Zit]

Bertozzini は, この \(n\)-Category Café の post で, \(C^*\)-category を Fell bundle という概念を使って考えることを提案している。目的は, Gel\('\)fand-Naimark duality の“可換な \(C^*\)-categoryへの”拡張である。そのために spaceoid という compact Hausdorff space の拡張も定義している。論文としては, [BCL] がある。

• Fell bundle
• spaceoid

Bertozzini は, Rutamorn との共著 [BR] では, 正定値ではない norm を持つ \(C^*\)-category の一般化を考え, Krein \(C^*\)-category と呼んでいる。

• Krein \(C^*\)-category

関係した話題としては Doplicher-Roberts の reconstruction theorem がある。つまりある種の symmetric monoidal \(C^*\)-category は compact群の連続表現の成す圏と同値になるという定理である。 [Buc+] の Introduction によると, この symmetric monoidal \(C^*\)-category という概念は, 数理物理に起源を持つらしい。 そして symmetric なものだけでは扱えない物理現象を記述するために braided monoidal \(C^*\)-category という概念を導入している。

• symmetric monoidal \(C^*\)-category
• braided monoidal \(C^*\)-category

その構成で重要な役割を果すのが Cuntz algebra である。

• Cuntz algebra

Falguières と Raum [FR] によると, 任意の finite monoidal \(C^*\)-category は, \(\mathrm{II}_1\)-factor の bimodule category として表せるらしい。

\(C^*\)-category の高次版を考えている人もいる。 \(2\)-category 版は, [Zit]にある。 更に高次なものは, [Ber+] で考えられている。

• \(2\)-\(C^*\)-category

Bouwknegt と Hannabus と Mathai [BHM10] は, nonassociative な \(C^*\)-algebra を考えるための枠組みとして, monoidal category の言葉を使うことを考えている。

References

[BCL]

Paolo Bertozzini, Roberto Conti, and Wicharn Lewkeeratiyutkul. Enriched Fell Bundles and Spaceoids. arXiv: 1112.5999.

[Ber+]

Paolo Bertozzini, Roberto Conti, Wicharn Lewkeeratiyutkul, and Noppakhun Suthichitranont. On Strict Higher \(C^*\)-categories. arXiv: 1709.09339.

[BHM10]

Peter Bouwknegt, Keith C. Hannabuss, and Varghese Mathai. “\(C^*\)-algebras in tensor categories”. In: Motives, quantum field theory, and pseudodifferential operators. Vol. 12. Clay Math. Proc. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 127–165. arXiv: math/0702802.

[BR]

Paolo Bertozzini and Kasemsun Rutamorn. Krein \(C^*\)-categories. arXiv: 1112.5996.

[Buc+]

Detlev Buchholz, Sergio Doplicher, Giovanni Morchio, John E. Roberts, and Franco Strocchi. Asymptotic Abelianness and Braided Tensor C*-Categories. arXiv: math-ph/0209038.

[Del]

Ivo Dell’Ambrogio. The unitary symmetric monoidal model category of small \(C^*\)-categories. arXiv: 1004.1488.

[DT]

Ivo Dell’Ambrogio and Goncalo Tabuada. Morita homotopy theory of \(C^*\)-categories. arXiv: 1112.5563.

[FR]

Sébastien Falguières and Sven Raum. Tensor \(C^*\)-categories arising as bimodule categories of \(\mathrm{II}_1\) factors. arXiv: 1112.4088.

[GLR85]

P. Ghez, R. Lima, and J. E. Roberts. “\(W^\ast \)-categories”. In: Pacific J. Math. 120.1 (1985), pp. 79–109. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102703884.

[LR97]

R. Longo and J. E. Roberts. “A theory of dimension”. In: \(K\)-Theory 11.2 (1997), pp. 103–159. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007714415067.

[Mit]

Paul D. Mitchener. \(KK\)-theory spectra for \(C^\ast \)-categories and discrete groupoid \(C^\ast \)-algebras. arXiv: 0711.2152.

[Mit02a]

Paul D. Mitchener. “\(C^*\)-categories”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 84.2 (2002), pp. 375–404. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/84.2.375.

[Mit02b]

Paul D. Mitchener. “\(KK\)-theory of \(C^*\)-categories and the analytic assembly map”. In: \(K\)-Theory 26.4 (2002), pp. 307–344. arXiv: math/0202037. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020623132356.

[Mit04]

Paul D. Mitchener. “\(C^*\)-categories, groupoid actions, equivariant \(KK\)-theory, and the Baum-Connes conjecture”. In: J. Funct. Anal. 214.1 (2004), pp. 1–39. arXiv: math/0204291. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2004.04.016.

[Vas07]

Ezio Vasselli. “Bundles of \(C^{\ast }\)-categories”. In: J. Funct. Anal. 247.2 (2007), pp. 351–377. arXiv: math/0510594. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2007.03.016.

[Zit]

Pasquale A. Zito. \(2\)-\(C^*\)-categories with non-simple units. arXiv: math/0509266.