Lie algebra の変種や一般化

代数的トポロジーで登場する代数的構造には, 次数 (\(\Z \)-grading) が付いている場合が多い。当然, Lie algebra も次数付きのものを考える。例えば, ホモトピー群 から得られる Lie algebra など。 また, \(\Z /2\Z \)-grading を持つ Lie superalgebra は, 物理関係の文献ではよく登場する。

• graded Lie algebra
• Lie superalgebra

Lie superalgebra を最初に調べたのは Kac [Kac77] なのだろうか。 Frappat と Sciarrino と Sorba の [FSS; FSS00] に “dictionary” として様々なことがまとめられている。

より一般に, Abel群で grading の付いたものも考えられている。 更に一般に, Abel群 \(G\) の skew-symmetric bicharacter \(\beta :G\times G\to k^{\times }\) が与えられたときに, それを使って \(G\)-graded vector space の category の symmetric monoidal structure を捻った category での Lie algebra object を考えることができる。Andruskiewitsch らの [AAB14] の冒頭では, この symmetric monoidal category での Lie algebra object を color Lie algebra と呼んでいる。Rimhak Ree の [Ree60] で最初に登場し, Scheunert [Sch79] により再発見されたようである。

• color Lie algebra

更に, 代数的トポロジーでは differential を持つものがよく使われる。

• differential graded Lie algebra

これらは, symmetric monoidal category での Lie algebra object とみなすことができる。\((\infty ,1)\)-category での Lie algebra object は, Knudsen の [Knu18] などで考えられている。 Knudsen は, 多重ループ空間の homology の構造を持つ higher universal enveloping algebra を導入している。

Lie algebra の定義は, operad を用いて記述することもできる。すると \(\mathcal {L}_{\infty }\)-algebra という “homotopy algebra” version が得られる。これは differential graded Lie algebra の一般化にもなっている。

• operad \(\mathcal {L}ie\)
• 可換環 \(k\) 上の module \(A\) に \(\mathcal {L}ie\) が作用することと \(A\) が \(k\) 上の Lie algebra であることは同値である。
• \(L_{\infty }\)-algebra

Spectrum の圏では, ある operad 上の algebra として Lie algebra の類似が定義される。

• spectral Lie algebra

Pre-Lie algebra や post-Lie algebra という概念もある。

• pre-Lie algebra and post-Lie algebra

Braiding を持つ braided Lie algebra, coproduct を持つ Lie bialgebra, そして両方を持つ braided Lie bialgebra というものもある。

• braided Lie algebra [Ard]
• Lie bialgebra
• braided Lie bialgebra

Grabowski の [Gra08] によると, Lie bialgebra は Drinfel\('\)d の 量子群の研究の過程 [Dri83; Dri87] で登場した。 Drinfel\('\)d の [Dri83] の英訳は, Yang-Baxter equation に関する reprint を集めた [Jim89] の中にある。 Yang-Baxter equation 以外に, Bai, Guo, Sheng の [BGS] の2ペー ジの図にあるように, Lie bialgebra は, 以下のものと関係が深い。

• Manin triple
• matched pair of Lie algebras
• \(\cO \)-operators on Lie algebra
• pre-Lie algebra

\(L_{\infty }\)-algebra の braided version は, Dimitriević Ćirić と Giotopoulos と Radovanović と Szabo [Dim+21] により導入された。

• braided \(L_{\infty }\)-algebra

Lie bialgebra の higher version [BSZ13] もある。

• Lie \(2\)-bialgebra

Braiding に関係したものとしては, Abel群で grading の付いた vector space の成す braided monoidal category での Lie algebra を Pareigis [Par97] が定義している。

より一般の (additive) symmetric monoidal category での Lie algebra については, GoyvaertとVercruysse [GV13] を見るとよい。彼等は, [GV14] で monad を使うことを考えている。

Lie algebra に更に構造が入ったものとしては, Poisson algebra が重要である。

• Poisson algebra

Loday は, Lie algebra の非可換版 (non-antisymmetric版) として Leibniz algebra という概念を導入 [Lod93] している。Lie algebra の定義から antisymmetry を外したものである。

• Leibniz algebra

非可換化と言えば, 非可換環上の Lie algebra や代数群を定義しようという試みもある。Berenstein と Retakh の [BR08] である。Kapranov による 非可換代数幾何学へのアプローチ [Kap98] ともよく合っているようで, 興味深い。

Lie algebra の一般化としては, 他に量子群が有名である。

• 量子群

他にも様々な一般化や変種が考えられていて, きりが無い。

• Lie algebroid
• Hom-Lie algebra [HLS06]
• quasi-Lie algebra [LS05b; LS05a]
• \(n\)-Lie algebra [Fil85; CK10]
• Lie-Rinehart algebra
• Leibniz pair [FGV95]
• omni-Lie algebra [Wei00]
• Lie \(2\)-algebra [BC04]
• omni-Lie \(2\)-algebra [SLZ11]
• Lie antialgebra [Ovs11; Ovs08]
• Leibniz \(2\)-algebra [SL13]

References

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