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Yang-Baxter 方程式は, C.N. Yang と R.J. Baxter にちなんで名付けられたものであるが, Perk と
Au-Yang による Encyclopedia of Mathematical Physics の解説 [PA] によると, その名は1970 年代後半に
Faddeev により導入されたものらしい。
Jimbo による解説 [Jim89a] や Yang-Baxter 方程式に関する論文の reprint を集めたもの [Jim89b]
もある。
様々なところに登場し, 例えば, このwebsiteの中の関連したページを挙げると, 以下のようになる。
一般化も色々考えられている。例えば, 以下のようなものがある。
- quantum Yang-Baxter equation
- dynamical Yang-Baxter equation
- generalized Yang-Baxter equation (Rowell, Zhang, Wu, Ge の [Row+10])
-
Hom-Yang-Baxter equation (Yau の [Yau09])
これらの一般化は全て monoidal category の構造と深く関係していて興味深い。例えば, Donin と Mudrov [DM05]
は dynamical Yang-Baxter equation から dynamical category という構造を定義している。Kitaev と
Wang [KW12] によると, generalized Yang-Baxter equation は ribbon fusion category
と関係あるようである。
一方, 関連した代数的構造としては, rack や brace といったものがある。
また, Yang-Baxter equation は simplex equation という 単体に関係した一連の方程式の一つでもある。
Yang-Baxter equation が\(2\)単体であり, その次が\(3\)単体に対応する Zamolodchikov [Zam80; Zam81] の
tetrahedral equation である。
- tetrahedral equation
- simplex equation
DimakisとMüller-Hoissen の [DM15] では Bazhanovと Stroganov の [BS82]
が参照されている。他にも FrenkelとMoore の [FM91] や Maillet と Nijhoff の [MN89] などを参照している。
References
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[BS82]
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V. V. Bazhanov and Yu. G. Stroganov. “Commutativity conditions
for transfer matrices on a multidimensional lattice”. In: Teoret. Mat.
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[DM05]
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J. Donin and A. Mudrov. “Dynamical Yang-Baxter equation and
quantum vector bundles”. In: Comm.
Math. Phys. 254.3 (2005), pp. 719–760. arXiv: math/0306028. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00220-004-1247-8.
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[DM15]
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Aristophanes Dimakis and Folkert Müller-Hoissen. “Simplex and
polygon equations”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom.
Methods Appl. 11 (2015), Paper 042, 49. arXiv: 1409.7855. url:
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[FM91]
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solutions”. In: Comm. Math. Phys. 138.2 (1991), pp. 259–271. url:
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104202944.
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[Jim89a]
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url: https://doi.org/10.1142/9789812798350_0005.
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[Jim89b]
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Michio Jimbo, ed. Yang-Baxter equation in integrable systems.
Vol. 10. Advanced Series in Mathematical Physics. Teaneck, NJ:
World Scientific Publishing Co. Inc., 1989, pp. x+715. isbn:
981-02-0120-6; 981-02-0121-4.
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[KW12]
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Alexei Kitaev and Zhenghan Wang. “Solutions to generalized
Yang-Baxter equations via ribbon fusion categories”. In: Proceedings
of the Freedman Fest. Vol. 18. Geom. Topol. Monogr. Geom.
Topol. Publ., Coventry, 2012, pp. 191–197. arXiv: 1203.1063. url:
https://doi.org/10.2140/gtm.2012.18.191.
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[MN89]
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PQ, 1988). World Sci. Publ., Teaneck, NJ, 1989, pp. 504–507.
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[PA]
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Jacques H. H. Perk and Helen Au-Yang. Yang-Baxter Equations.
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[Row+10]
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Eric C. Rowell, Yong Zhang, Yong-Shi Wu, and Mo-Lin Ge.
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braiding quantum gates”. In: Quantum Inf. Comput. 10.7-8 (2010),
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[Yau09]
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https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/16/165202.
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[Zam80]
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A. B. Zamolodchikov. “Tetrahedra equations and integrable
systems in three-dimensional space”. In: Zh. Èksper. Teoret. Fiz. 79.2
(1980), pp. 641–664.
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[Zam81]
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A. B. Zamolodchikov. “Tetrahedron equations and the relativistic
\(S\)-matrix of straight-strings in \(2+1\)-dimensions”. In: Comm. Math. Phys.
79.4 (1981), pp. 489–505. url:
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103909139.
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