Lie-Rinehart Algebra

Lie-Rinehart algebra は, その名前から分るように, Rinehart により [Rin63] で導入された Lie algebra にある構造を付加したものである。と思っていたが, Dokas の [Dok12] によると, 同じ構造が pseudo-algebre de Lie として Herz の [Her53a; Her53b] に現れているようである。

文献としては, Rinehart の原論文以外に Moerdijk と Mrčun の [MM10] や Huebschmann の [Hue90] がある。

例としては, Lie algebroid から構成されるもの [Che99] や, 多様体から構成されるもの [Bor11; Kap07] などがある。

Lie algebra と同様 universal enveloping algebra を持つ。既に, Rinehart の論文に登場している。

• Lie-Rinehart algebra の universal enveloping algebra

Krähmer と Rovi [KR15] によると Lie-Rinehart algebra の universal enveloping algebra は left Hopf algebroid の構造をもつ。ただ, Hopf algebroid になるとは限らないようである。

似たような構造として, Leibniz pair がある。Flato, Gerstenhaber, Voronov により [FGV95] で導入された。 Lie-Rinehart algebra は Leibniz pair とみなすことができる。

• Leibniz pair

Pei, Sheng, Tang, Zhao [Pei+] によると, Lie algop という名前で, Winter [Win05; Win07] により調べられているものも同じもののようである。

References

[Bor11]

Dennis Borisov. “What is the higher-dimensional infinitesimal groupoid of a manifold?” In: J. Aust. Math. Soc. 90.2 (2011), pp. 155–170. arXiv: 0910.5525. url: http://dx.doi.org/10.1017/S1446788711001248.

[Che99]

Sophie Chemla. “A duality property for complex Lie algebroids”. In: Math. Z. 232.2 (1999), pp. 367–388. url: https://doi.org/10.1007/s002090050520.

[Dok12]

Ioannis Dokas. “Cohomology of restricted Lie-Rinehart algebras and the Brauer group”. In: Adv. Math. 231.5 (2012), pp. 2573–2592. arXiv: 1110.3007. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.08.003.

[FGV95]

M. Flato, M. Gerstenhaber, and A. A. Voronov. “Cohomology and deformation of Leibniz pairs”. In: Lett. Math. Phys. 34.1 (1995), pp. 77–90. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00739377.

[Her53a]

Jean-Claude Herz. “Pseudo-algèbres de Lie. I”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 236 (1953), pp. 1935–1937.

[Her53b]

Jean-Claude Herz. “Pseudo-algèbres de Lie. II”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 236 (1953), pp. 2289–2291.

[Hue90]

Johannes Huebschmann. “Poisson cohomology and quantization”. In: J. Reine Angew. Math. 408 (1990), pp. 57–113. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1990.408.57.

[Kap07]

Mikhail Kapranov. “Free Lie algebroids and the space of paths”. In: Selecta Math. (N.S.) 13.2 (2007), pp. 277–319. arXiv: math/0702584. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-007-0041-9.

[KR15]

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[MM10]

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[Pei+]

Yufeng Pei, Yunhe Sheng, Rong Tang, and Kaiming Zhao. Actions of monoidal categories and representations of Cartan type Lie algebras. arXiv: 1908.02549.

[Rin63]

George S. Rinehart. “Differential forms on general commutative algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), pp. 195–222. url: https://doi.org/10.2307/1993603.

[Win05]

David J. Winter. “Lie algops and simple Lie algebras”. In: Comm. Algebra 33.9 (2005), pp. 3157–3178. url: https://doi.org/10.1081/AGB-200066145.

[Win07]

David J. Winter. “Simple nil Lie algops”. In: Comm. Algebra 35.4 (2007), pp. 1093–1126. url: https://doi.org/10.1080/00927870601139559.