Triangulated category についての文献としては, まずは Neeman の本 [Nee01] を挙げるべきだろう。Neeman
の本では, まず pretriangulated category が定義され, それに octahedral axiom を追加して
triangulated category の定義としている。Octahedral axiom は, 述べるだけでも結構面倒なものであり,
伝統的に正八面体の形に表わすのでその名前が付いている。最近の本なら, Gel\('\)fand と Manin の本 [GM99; GM03]
を見るとよい。この二つの本は重複する部分も多いが, 後者の方が初学者向けに書いてある。Neeman は octahedral axiom を
mapping cone を用いてより分かりやすい形 (少なくともホモトピー論の人間にとっては) に言い換えてくれている。
代数への応用を念頭に書かれたものとして Happel の [Hap88] があるが, これも分かりやすい。 Frobenius category や
Auslander-Reiten triangle などの話題についても書いてある。
- pretriangulated category の定義
- octahedral axiom と triangulated category の定義
Triangulated category の定義は, このように結構複雑なものであるが, Baues と Muro [BM] が translation
functor を持つ additive category が triangulated category になるための条件を調べている。彼等は
groupoid で enrich された additive category という視点から考察している。その obstruction は
Baues-Wirsching cohomology の元として得られる。 Toda bracket の構成についても言及している。
- additive track category
- translation cohomology
Triangulated category の triangulated subcategory による quotient は, Verdier
により構成された。
- triangulated subcategory
- Verdier quotient
Cluster category という有限次元代数から作られる triangulated category の cluster tilting
subcategory による quotient は Abelian category になるが, より一般の triangulated category での
cluster tilting subcategory による quotientを考えているのは, Koenig と Zhu の [KZ08]
である。Cluster tilting subcategory とは, Iyama の [Iya07] で maximal \(1\)-orthogonal
subcategory と呼ばれ導入されたものである。
代数幾何学や 表現論のように, derived category をよく使う分野では, \(t\)-structure という概念が重要である。
Beilinson と Berstein と Deligne により, [BBD82] で導入された。 この論文では, recollement
という概念も導入されている。
Triangulated category では, トポロジーで行なわれてきた様々な操作が可能となったり,
トポロジーで良く知られた定理の類似が成り立ったりする。例えば, 以下のものである。
環 \(R\) が良い性質を持つと \(R\) 加群の圏は stable equivalence を weak equivalence として model
category に近い構造を持つ。例えば Frobenious 環の場合は, model category になる。そしてその stable
category (homotopy category) として triangulated category を作ることもできる。[Bel01]
などで考察されている。より一般に Frobenius category の場合は, Gel\('\)fand と Manin の本 [GM99] や Happel
の本 [Hap88] で解説されている。
このように, homotopy category をとって triangulated category になるような model category を
stable model category という。
たいていの triangulated category は, stable model category から作られたものである。Schwede [Sch]
は stable cofibration category の homotopy category と同値になるものを, topological
triangulated category と呼んでいる。Schwede は algebraic triangulated category は
topological であることを示している。もちろん topological でないものも存在し, Schwede は, それらを
exotic triangulated category と呼んでいる。Muro と Schwede と Strickland の [MSS07]
など。
- algebraic triangulated category
- topological triangulated category
- exotic triangulated category
代数に起源を持つ構成としては, exact category の quotient category として triangulated category
を作るという方法がある。Grime が [Gri08] で考えている。その起源は, Happel による有限群の group ring の module
の圏の構造に関する結果 [Hap87] のようである。 Grime は, 更に [Gri] で, Bousfield localization や
homotopy colimit などの道具を用いて module の圏を調べている。
Triangulated category の subcategory については, 代数的トポロジーで 80年代から考えられてきたこともある。Hopkins
は spectrum の stable homotopy category の thick subcategory を分類した。
この流れでは, Chebolu の [Che06] という仕事がある。これは Thick Subcategory Theorem
の精密化である。Chebolu は, thick subcategory については, Krull-Schmidt の定理の証明 [Che07]
も行なっている。 これは Krause の stable module category に関する結果 [Kra99] の一般化である。
2つの triangulated category を合せて1つにする, という操作も考えられる。 Recollement という
[Jør06], らしい。他にも Bondal と Larsen と Lunts [BLL04] による pretriangulated dg
category の積もある。 彼らの目的は, pretriangulated dg category の圏の Grothendieck group
を定義することであるが。
Balmer と Favi の [BF07] では gluing という操作が考えられている。これは Balmer の定義した [Bal02;
Bal05] “tensor product を持つ triangulated category” の prime ideal spectrum
という位相空間に関するデータに基づくものである。Object や morphism の gluing についても考えている。
他には次のような概念を知っておくとよい。
- triangulated category の上の (co)homological functor
- triangulated category が saturated であること
Pirashvili と Redondo は [PR08] で triangulated category 上の Abelian category に値を持つ
functor で, suspension と可換かつ triangle を long exact sequence に写すものを考えている。つまり
triangulated category 上の homology theory である。主要な結果は, universal coefficient theorem
の類似である。Bousfield localization の類似として, cohomological functor に関する localization
という概念も考えられる。Krause の [Kra] など。
Bondal と van den Bergh は, [BB03] で saturated になるための十分条件を考えている。彼等の念頭にあるのは,
smooth proper (commutative あるい は noncommutative) variety 上の coherent sheaf の
bounded derived category である。
Bondal と van den Bergh は, そのために triangurated category を subcategory
で生成することについて考えている。それを元に, Rouquier [Rou08] は triangulated category の次元を定義した。Bergh
と Oppermann が [Ber+10] でその lower bound について考えている。
- triangulated category の次元
Triangulated category 上の functor として重要なのは, Serre functor と呼ばれるものである。
Triangulated category 上の functor としては, determinant functor というものもある。Breuning
の [Bre11] を参照のこと。その値域は, Picard category と呼ばれる種類の tensor category である。
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