Thick Subcategories

Thick subcategory の概念は, Verdier の thesis で triangulated category を調べるために導入された。

1990年代に, Hopkins らの仕事により, stable homotopy theory でも有用であることが分かった。

• thick subcategory theorem

Monoidal structure を持つ triangulated category の場合は, monoidal category に関する条件を要求したいが, そのようなものとしては, Balmer の tensor triangular geometry での Balmer spectrum の定義に使われている。

• thick \(\otimes \)-ideal

Prime thick \(\otimes \)-ideal の集合に, ある位相を入れてできる位相空間が Balmer spectrum である。

Gratz と Stevenson [GS23] は, triangulated category の中の thick subcategory の成す lattice を調べている。彼等は, その lattice が distributive なときには, ある sober space の開集合の成す lattice と同型になることを示している。

Abelian category に対しても同様の概念が定義できる。Thick subcategory と呼ばれることもあるが, Serre subcategory と呼ばれることも多い。 この Stacks project のページによると, Serre subcategory という名前の起源は Serre の Abelian group の class の理論 [Ser53] らしい。

• Serre subcategory or thick subcategory of Abelian category

References

[GS23]

Sira Gratz and Greg Stevenson. “Approximating triangulated categories by spaces”. In: Adv. Math. 425 (2023), Paper No. 109073, 44. arXiv: 2205.13356. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2023.109073.

[Ser53]

Jean-Pierre Serre. “Groupes d’homotopie et classes de groupes abéliens”. In: Ann. of Math. (2) 58 (1953), pp. 258–294. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969789.